单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$, 其中 $\rho \in(-1,1)$, 若 $a, b$ 为满足 $a^2+b^2=1$的任意实数, 则 $D(a X+b Y)$ 的最大值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $1+|\rho|$
$\text{D.}$ $1+\rho^2$
设 $X_1, X_2, \ldots, X_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本, 令 $T=\sum_{i=1}^{20} X_i$, 利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{T \leq 1\} \approx$
$\text{A.}$ $\frac{1}{ e ^2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{ e ^2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{ e ^2}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{ e ^2}$
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自正态总体 $N(\mu, 2)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, Z_\alpha$ 表示标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数, 假设检验问题: $H_0: \mu \leq 1, H_1: \mu>1$ 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验的拒绝域为
$\text{A.}$ $\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \left\lvert\, \bar{X}>1+\frac{2}{n} Z_\alpha\right.\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \left\lvert\, \bar{X}>1+\frac{\sqrt{2}}{n} Z_\alpha\right.\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \left\lvert\, \bar{X}>1+\frac{2}{\sqrt{n}} Z_\alpha\right.\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \left\lvert\, \bar{X}>1+\sqrt{\frac{2}{n}} Z_\alpha\right.\right\}$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A , B$ 为两个随机事件， $A , B$ 相互独立 $P(A)=2 P(B), P(A \cup B)=\frac{5}{8}$ 则 $A , B$至少有一个发生的条件下 .
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 X 的关系为
$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
0, x \leq 0 \\
x-100, x>100
\end{array}\right.
$$
, 设损失事件发生时, 投保人的损失额 $X$ 概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3}, x>0 \\
0, x \leq 0
\end{array} .\right.
$$
(1)求 $P\{Y>0\}$ 及 $E Y$
(2)这种损失事件在一年内发生的次数记为 N 保险公司在一年内就这种损失事件产生次数记为 $M$ 。假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布，在 $N=n(n \geq 1)$ 的条件下，M 服的理赔
从二项分布 $B ( n , p )$, 其中 $p=P(Y>0)$ 求 M 的概率分布.