单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(-1,1), Y$ 服从正态分布 $N(1,2)$, 若 $X$ 与 $X+2 Y$ 不相关, 则 $X$ 与 $X-Y$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本. 令 $T=\sum_{i=1}^{20} X_i$, 利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{T \leq 1\} \approx$
$\text{A.}$ $\frac{1}{ e ^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{ e ^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{ e ^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{ e ^2}$.
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 样本的经验分布函数为 $F_n(x)$, 对于给定的 $x(0 < F(x) < 1), D\left(F_n(x)\right)=$
$\text{A.}$ $F(x)(1-F(x))$
$\text{B.}$ $(F(x))^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n} F(x)(1-F(x))$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n}(F(x))^2$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A, B, C$ 为三个随机事件, 且 $A$ 与 $B$ 相互独立, $B$ 与 $C$ 相互独立, $A$ 与 $C$ 互不相容,已知 $P(A)=P(C)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{2}$, 则在事件 $A, B, C$ 至少有一个发生的事件下, $A, B, C$ 中恰有一个发生的概率为
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
投保人的损失事件发生时, 保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为
$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
0, X \leq 100 \\
X-100, X>100
\end{array}\right.
$$
设定损事件发生时, 投保人的损失额 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{cases}
$$
（1）求 $P\{Y>0\}$ 及 $E Y$.
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$, 保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$, 假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布, 在 $N=n(n \geq 1)$ 的条件下, $M$ 服从二项分布 $B(n, p)$, 其中 $p=P\{Y>0\}$, 求 $M$ 的概率分布.