一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A$ 为三阶矩阵， 将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ ${C}={P}^T {A P}$
$\text{D.}$ $C=P A P^T$
设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ $C=P^T A P$
$\text{D.}$ $C=P A P^T$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再交换 $B$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ， $P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A=$
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
交换 $B$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
$P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) ，$ 则 $A=(\quad)$
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right), B$ 为三阶非零矩阵，且 $A B=O$ ，则 $t=$
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵， $|A|=2,|B|=-3$ ，则 $\left|2 A^* B^{-1}\right|=$
已知 $A B-B=A$, 其中 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $A=$
三、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{E}\right.$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵), $|\boldsymbol{A}| < 0$, 求 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|$.
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间, 证明: $W$ 的正交补 $W^{\perp}$ 也是 $\sigma$ 的不变子空间.
记 $V=\mathbb{R}[x]_4$ 为次数小于 4 的实系数一元多项式组成的线性空间, 定义 $V$ 上的映射 $\varphi$ 为 $\varphi(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$.
(1) 求 $\varphi$ 在基 $1, x, x^2, x^3$ 下的矩阵.
(2) 求 $\varphi$ 的特征值与特征向量.
设 $\boldsymbol{A} \in M_n(\mathbb{R}), n$ 为大于 1 的奇数, $\boldsymbol{A}^{\prime}=\boldsymbol{A}^*$, 求 $\operatorname{det}\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}\right)$.
设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 是 $V$中的两个向量组, 其秩分别是 $r_1, r_2$, 若 $\boldsymbol{C} \in M_{r \times s}(\mathbb{K})$ 满足 $\boldsymbol{\beta}_j=\sum_{i=1}^r c_{i j} \boldsymbol{\alpha}_i, j=1,2, \cdots, s .$
证明: $\mathrm{r}(\boldsymbol{C}) \leq r_2-r_1+r$.
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in M_n(\mathbb{R}), \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$, 证明: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 相似.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>1)$ 阶非异阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的逆阵. 任取 $r$ 个指标 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_r \leq n$, 剩余的指标记为 $1 \leq i_{r+1} < \cdots < i_n \leq n$. 证明:
$$
|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{B}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
i_1 & i_2 & \cdots & i_r
\end{array}\right)=\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{ccc}
i_{r+1} & \cdots & i_n \\
i_{r+1} & \cdots & i_n
\end{array}\right) .
$$
设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\boldsymbol{\varphi}, \boldsymbol{\psi}$ 是 $V$ 上的线性变换,满足 $\varphi \boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{\psi} \varphi$. 证明: 存在正整数 $m$, 使得 $\operatorname{Im}\left(\boldsymbol{\varphi}^m+\boldsymbol{\psi}^m\right)=\operatorname{Im} \varphi^m+\operatorname{Im} \boldsymbol{\psi}^m$.
设 $\varphi_1, \cdots, \varphi_k$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足条件 $\varphi_i^2=\varphi_i(1 \leq i \leq k), \varphi_i \varphi_j=0(1 \leq i < j \leq k)$. 求证:
$$
V=\operatorname{Im} \varphi_1 \oplus \cdots \oplus \operatorname{Im} \varphi_k \oplus\left(\bigcap_{i=1}^k \operatorname{Ker} \varphi_i\right) .
$$
设 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}$, 证明: 若对任意的实列向量 $\boldsymbol{x}$,均有 $\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A x} \leq \boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{x}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 是实对称阵.
设 $\boldsymbol{A}$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n(n>1)$ 阶方阵, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1, \boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$的伴随矩阵. 记齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}}, \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}^*}$. 证明: $\mathbb{K}^n=V_{\boldsymbol{A}} \oplus V_{\boldsymbol{A}^*}$ 成立的充要条件是 $\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A}^*\right) \neq 0$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实对称阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实方阵, $\boldsymbol{D}=\operatorname{diag}\left\{d_1, d_2, \cdots\right.$, $\left.d_n\right\}, d_i>0(1 \leq i \leq n)$, 满足:
$$
\left|\begin{array}{cc}
\mathrm{i} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{D} & \mathrm{i} \boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{B}^{\prime} & \boldsymbol{C}
\end{array}\right|=0,
$$
其中 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 为虚数单位. 证明: $\left|B^2+C^2\right|=0$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 使得 $B A^{-1} C$ 为对称阵. 证明:
$|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,$
并求等号成立的充分必要条件.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 使得 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C}$ 为对称阵. 证明:
$
|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,
$
并求等号成立的充要条件.
设 $M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $M_n(\mathbb{C})$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime}$, 其中 $\boldsymbol{A} \in M_n(\mathbb{C})$. 证明: $\varphi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化.
设 $\sigma$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$, 则 $\sigma$ 的不变子空间的个数是
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $n>1$ ，如果对任意 $n$ 阶矩阵 $B$ ，都有
$|A+B|=|A|+|B| .$
证明: $A=O$.
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}a_1+b \\ a_1 \\ \vdots \\ a_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}a_2 \\ a_2+b \\ \vdots \\ a_2\end{array}\right), \cdots, \alpha_n=\left(\begin{array}{c}a_n \\ a_n \\ \vdots \\ a_n+b\end{array}\right)$. 记 $W=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，其中 $\sum_{i=1}^n a_i \neq 0$ ，求 $W$ 的维数与一组基.
设 $V=\mathbb{P}^{2 \times 2}$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间，记 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，线性变换： $\sigma: X \mapsto A X, \forall X \in \mathbb{P}^{2 \times 2}$.
(1) 求线性变换 $\sigma$ 在基:
$$
E_{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
下的矩阵.
（2）如果 $A$ 相似于对角矩阵，证明：线性变换 $\sigma$ 在 $V$ 的某组基下的矩阵是对角矩阵.
设矩阵 $X$ 满足 $A X+I=A^2+X$ ，其中 $I$ 为三阶单位阵，又已知 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，试求出矩阵 $X$.
设三阶矩阵 $A$ 满足 $A \alpha_i=i \alpha_i(i=1,2,3)$ ，其中列向量
$\alpha_1=(1,2,2)^T, \quad \alpha_2=(2,-2,1)^T, \alpha_3=(-2,-1,2)^T \text {. }$ 试求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 且 $A^2-A B=E$, 其中 $E$ 是三阶单位矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
设 $\left(2 E-C^{-1} B\right) A^T=C^{-1}$ ，其中 $E$ 是 4 阶单位矩阵， $A^T$ 是 4 阶矩阵 $A$ 的转置矩阵，
$$
B=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -3 & -2 \\
0 & 1 & 2 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) \text {, }
$$
求 $A$.
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{H}=\left(a_{i j}\right)$, 其中 $a_{i j}=\frac{1}{i+j-1}$, 称这样的矩阵为 $n$ 阶 Hilbert 矩阵. 求证: $\boldsymbol{H}^{-1}$ 是整数矩阵, 即 $\boldsymbol{H}^{-1}$ 的每个元素都是整数.
设 $S=\left\{(a, b) \in \mathbb{R}^2 \mid a^2+b^2=1\right.$ 且 $\left.b \neq 1\right\}$, 定义映射 $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$, $\varphi(a, b)=\frac{a}{1-b}$.
(1) 验证 $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$ 是 个双射;
(2) 请在 $S$ 上定义加法 $\oplus$ 和数乘 $\circ$, 使 $(S, \oplus, \circ)$ 成为实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间, H $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$ 成为线性同构.
请用一元多项式的方法证明: 设 $A, B$ 为 $n$ 阶实方阵, 且存在 $n$ 阶非异复方阵 $Q$, 使得 $B=Q^{-1} A Q$, 则必存在 $n$ 阶非异实方阵 $P$, 使得 $B=P^{-1} A P$.
证明: 整系数多项式 $2 x^4-3 x^3+7 x^2+6 x-18$ 在有理数域上不可约.
设 $f(x)$ 是 $n$ 次整系数多项式, 且存在 $n+1$ 个不同的整数 $a_1, \cdots, a_{n+1}$,使得 $\left|f\left(a_i\right)\right|=1(1 \leq i \leq n+1)$. 证明: $f(x)$ 在有理数域上不可约.
设数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵
证明: $\left|\boldsymbol{I}_n+\boldsymbol{A}+\cdots+\boldsymbol{A}^{n-1}\right|=(1-c)^{n-1}$, 其中 $c=c_1 c_2 \cdots c_n$.