一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知函数 $f(x, y)=|x-y| g(x, y)$, 其中 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内有定义, 则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处偏导数存在的充分条件是
$\text{A.}$ $g(0,0)=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在且 $g(0,0)=0$.
$\text{D.}$ $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $g(0,0)=0$.
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续, $f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=2$, 则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -3
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
设函数 $f(x)$ 连续, 满足 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$. 若 $\int_0^1 \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x=1$, 则 $\int_0^1 x \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x$ $= $
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ e
若二元函数 $f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数, 且满足 $f(x, y)=-f(y, x)$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=f_{22}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{B.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{22}^{\prime \prime}(y, x)$.
$\text{C.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=f_{21}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{D.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{21}^{\prime \prime}(y, x)$.
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $z=\sin x+\sin (x y)+\int_0^{x+y} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
差分方程 $y_{x+1}-3 y_x=2+x \cdot 3^x$ 的通解为
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{2+x y}-\sqrt{2}}=$
圆 $x^2+y^2=3$ 上到点 $(0,0),(2,0),(0,1)$ 的距离的平方和最小的点为
已知函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ ?
函数 $z=x y+\ln y$ 在点 $(2,1)$ 处的梯度方向为?
三、解答题 （ 共 18 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
在曲线 $y=x^2(x \geq 0)$ 上点 $A$ 处作切线, 该切线与曲线以及 $x$ 轴所围图形的面积为 $\frac{1}{12}$.
(1) 求点 $A$ 的坐标和切线方程;
(2) 求由上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 是椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a, b, c>0)$ 在第一卦限上的点, $\Sigma$ 是椭球面在点 $P_1$ 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形区域, 取上侧. 求
$$
I=\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
的最小值, 并求出此时点 $P_1$ 的坐标.
证明: 二元函数 $f(x, y)=x^3-4 x^2+2 x y-y^2$在 $\mathbb{R}^2$ 上有唯一的极值点，且该极值点是极大值点但不是最大值点.
定义函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x} e^{-\frac{1}{x^2}}, x \neq 0 \\ 0 & , x=0\end{array}\right.$.
(1) 证明: $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续且可导.
(2) 证明: $f^{\prime}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续.
(3) 求 $f(x)$ 的单调区间、最大值点、最小值点.
$\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^2+y^2}\right)^{x^2}$.
已知 $u$ 是关于 $x, y$ 的函数，且满足:
$u=f(x, y, z, t), g(y, z, t)=0, h(z, t)=0 .$
求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$.
要制作一个中间为圆柱, 两端为相同的正圆雉的空浮标, 其体积为定值. 若要求用料最少, 求此时圆柱的高, 圆柱的半径和圆锥的高的比例.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^2-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 y}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0 \quad, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，求二阶偏导数 $f_{x y}^{\prime \prime}$.
设函数 $z(x, y)$ 满足 $\mathrm{d} z=\mathrm{e}^{a x}\left(x y+y+2 y^2\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{a x}(2 b y+x) \mathrm{d} y$, 且 $z(0,0)=0$.
(I) 求 $a, b$;
(II) 求 $z(x, y)$ 的极值.
设由 $\ln \sqrt{x^2+y^2}=\arctan \frac{y}{x}$ 确定了 $y=y(x)$, 求 $\frac{d y}{d x}$.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=2$. 对每个正数 $r$, 令平面区域 $D_r=$ $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant r^2\right\}$, 并选取一点 $(\xi, \eta) \in D_r$ 使得 $\iint_{D_r} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi r^2 f\left(\xi^2+\eta^2\right)$. 求 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\xi^2+\eta^2}{r^2}$
设函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续正值函数, $F(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续函数, 且对 $x \in(0, \pi)$, $F(x)=\frac{\int_0^x(1-\cos t) f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^x t^2 f(t) \mathrm{d} t}$. 求 $F(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值.
已知函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$, 满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
x u-y v=0 \\
y x+x v=2
\end{array}\right.
$$
在 $\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)=(1,1,1,1)$ 的某个邻域内定义的隐函数, 求 $\frac{\partial x}{\partial x}(1,1), \frac{\partial x}{\partial y}(1,1), \frac{\partial v}{\partial x}(1,1), \frac{\partial v}{\partial y}(1,1)$.
求 $f(x, y)=2 x^2+4 x y-2 y^2$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) ; x^2+y^2 \leq 5\right\}$ 上的最大值和最小值.
设 $y^2 \mathrm{~d} x+(2 x y+1) \mathrm{d} y$ 是函数 $f(x, y)$ 的全微分, 其中 $f(0,0)=0$, 求 $f(x, y)$, 并计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} z f(x, y) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma$ 是椎面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+(y-1)^2=1$ 所截下的有限部分.
设 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上有二阶连续偏导数，若对以任一点 $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2$ 为中心，以任意 $r>0$ 为半径的上半圆周
$$
L_r: y-y_0=\sqrt{r^2-\left(x-x_0\right)^2} .
$$
均有 $I(r)=\int_{L_r} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$. 证明:
$$
P(x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} \equiv 0
$$
设函数 $f(u)$ 具有 2 阶连续导数, $z=f\left(\mathrm{e}^{x^2-y^2}\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=16 z\left(x^2+y^2\right)$, 若 $f(1)=0$, $f^{\prime}(1)=2$.
(I) 求 $f(u)$ 的表达式;
(II) 记 $g(x, y)=3 x y-x^3-y^3$, 求 $f[g(x, y)]$ 的极值.