已知函数 $f(x, y)=|x-y| g(x, y)$, 其中 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内有定义, 则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处偏导数存在的充分条件是
A. $g(0,0)=0$.
B. $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在.
C. $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在且 $g(0,0)=0$.
D. $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $g(0,0)=0$.