一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x^2}{1+b x}$ 与 $x^3$ 是同阶无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
设常数 $a>0$, 若当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $\ln x \leqslant x^a$, 则
$\text{A.}$ $a \geqslant \mathrm{e}$.
$\text{B.}$ $a \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{C.}$ $0 < a < $ e.
$\text{D.}$ $0 < a < \frac{1}{\mathrm{e}}$.
已知积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^m \arctan x}{2+x^n} \mathrm{~d} x(n \geqslant 0)$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $m>-2$ 且 $n-m>1$.
$\text{B.}$ $m>0$ 且 $n-m>1$.
$\text{C.}$ $m>0$ 且 $n-m < 1$.
$\text{D.}$ $m>-2$ 且 $n-m < 1$.
设 $f(x)=\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-x^{\frac{2}{3}}$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 无法确定 $f^{\prime \prime}(0)$ 是否存在.
设 $I=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\beta x} \cos q x \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=q^2$.
$\text{B.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=p^2+q^2$.
$\text{C.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{p}{p^2+q^2}$
$\text{D.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{1}{p^2+q^2}$.
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$, 则必定存在一个 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调增加, 在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调减少.
$\text{B.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调减少,在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调增加.
$\text{C.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凸的.
$\text{D.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凹的.
设常数 $\alpha>0, \beta>0$, 若反常积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{1}{(-\cos x)^\alpha(1+\cos x)^\beta} \mathrm{d} x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < 1$.
$\text{B.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < 1$.
设函数 $f(x)$ 可导, $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|} \sin ^2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, F(x)=f[g(x)]\right.$,
则 $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ $f(0)=0$.
$\text{D.}$ $f(0) \neq 0$.
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设有函数序列 $f_n(x)=(n+1) x^n, 0 < x < 1, n=1,2, \cdots$, 下列四个结论:(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0, x \in(0,1)$; (2) 若数列 $x_n \in(0,1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n\left(x_n\right)=0$;
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n^{\prime}(x)=0, x \in(0,1)$; (4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=0$ 中, 正确的是 ( ).
$\text{A.}$ (1) 和 (2)
$\text{B.}$ (3) 和 (4)
$\text{C.}$ (1) 和 (3)
$\text{D.}$ (2) 和 (4)
下列数列中哪个是收敛数列
$\text{A.}$ $x_n=\sin n$
$\text{B.}$ $x_n=\frac{2^n-1}{3^n}$
$\text{C.}$ $x_n=n-\frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $x_n=(-1)^n+ \sin n$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\tan 2 x}{2 x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则常数 $a= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
点 $x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 第二类间断点
设 $f(x)=\arcsin x$, 则 $f^{\prime \prime}(0)$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -1
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1-2 x^3\right)+x f(x)}{x^6}=3$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-2 x^2}{x^5}=$
设函数 $f(x)=\frac{(x+1)^n}{\mathrm{e}^{x^2}}$, 则 $f^{(n)}(-1)=$
$\lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\cos \frac{x^2}{y}\right)^{\frac{y^2+x}{x^3}}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2+x^2}$.
设函数 $f(u)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数, 且 $z=f\left(\mathrm{e}^x \cos y\right)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{2 x}\left(z+\mathrm{e}^x \cos y\right) .
$$
(I) 验证: $f^{\prime \prime}(u)-f(u)=u$;
(II) 若 $f(0)=f^{\prime}(0)=1$, 求出函数 $f(u)$ 的表达式.
求极限 $ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}\right)}{n}\right)^{\frac{1}{x}} $
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)^2-\cos x}{\sin ^2 x}$.
设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(3)=$
设函数 $f(x)$ 的定义域 $D=[0,4]$, 则函数 $f\left(x^2\right)$ 的定义域是
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$
三、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x+1}{2}}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \tan x}\right)$
设函数 $y=(2-x)^2+\ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)$, 求 $\frac{d y}{d x}$ 与 $d y$.
设$ y=f(x) $是由方程 $ \arctan \frac{x}{y}=\ln \sqrt{x^2+y^2} $ 确定的隐函数, 求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} $
求函数 $ y=\left(x-\frac{5}{2}\right) \sqrt{x^2} $ 的凹凸区间与拐点
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续, 在 $(0,3)$ 内可导, 且 $f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1$. 试证: 必存在一点 $\xi \in(0,3)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
设 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续, $f(0)=g(0) \neq 0$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} f\left(\sqrt{x^2-t}\right) \mathrm{d} t}{\int_0^1 x^2 g(x t) \mathrm{d} t}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{x^3} \int_1^x\left[\left(1+t^2\right) \sin \frac{1}{t}-\cos t\right] \mathrm{d} t}{1-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x+b x^2\right) \mathrm{e}^x-c}{x-\sin x}=d$, 求常数 $a, b, c, d$ 的值.
设位于第一象限的平面曲线 $L: y=y(x)$ 过点 $A(0, \sqrt{2}-1)$, 且 $y^{\prime}(x)>0$, 又 $M(x, y)$ 为曲线 $L$ 上的任意一点, 且弧段 $A M$ 的长度与点 $M$ 处 $L$ 的切线在 $x$ 轴上的截距之差为 $\sqrt{2}-1$.
( I ) 求 $y=y(x)$ 所满足的微分方程和初始条件;
(II) 求曲线 $L$ 的表示式.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)-\tan (\tan x)}{\sin x-\tan x}$.
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{4 n^2+2}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{4 n^2+n}}\right)$.
设函数 $f(x)$ 在点 $x=2$ 处可导， $f(2)=f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}$ ，求极限
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{f\left(\frac{2 n+1}{n}\right)}{f(2)}\right) \dfrac{1}{\ln \left(2+\frac{1}{3 n}\right)-\ln 2}
$$
当$ x>0 $时，画出 $ y=x^x$的大致图像。
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n$.