一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow 0$ 时, 无穷小 $\alpha=\sqrt{1+x \cos x}-\sqrt{1+\sin x}, \beta=\int_0^{\mathrm{e}^{2 x}-1} \frac{\sin ^2 t}{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\cos (\tan x)-\cos x$的阶数由低到高的次序为
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
$\text{C.}$ $\gamma, \alpha, \beta$
$\text{D.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{80}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}$
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
已知函数 $f(x), g(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)>0, g^{\prime}(x) < 0$, 则
$\text{A.}$ $\int_{-1}^0 f(x) g(x) \mathrm{d} x>\int_0^1 f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
$\text{B.}$ $\int_{-1}^0|f(x) g(x)| \mathrm{d} x>\int_0^1|f(x) g(x)| \mathrm{d} x$.
$\text{C.}$ $\int_{-1}^0 f[g(x)] \mathrm{d} x>\int_0^1 f[g(x)] \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\int_{-1}^0 f[f(x)] \mathrm{d} x>\int_0^1 g[g(x)] \mathrm{d} x$.
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x-5}{x^3 \sin \frac{1}{x^2}}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $-\frac{3}{8}$.
$\text{D.}$ 1
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $a, b$ 为常数, 求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^2}{(x-a)(x-b)}\right)^x=$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+5 x)^{\frac{1}{\sin x}}$;
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2+3 n^3}\right) \sum_{k=1}^n k e^{\frac{k}{n}}$;
已知 $f^{\prime}(x)=\sqrt{1+x^2}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right)$ 。
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3}\left[1^2+3^2+\cdots+(2 n-1)^2\right]=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\cos x+\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)^{\frac{x}{\arctan x-x}}=$
$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{|x|}{1+\sin x} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2}\left(1+\cos \frac{i \pi}{n}\right)^2=$
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{2 x-1}=$
设 $f(x)$ 连续, 且当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_0^x\left(x^2+1-\cos t\right) f(t) \mathrm{d} t$ 是与 $x^3$ 等价的无穷小, 则 $f(0)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \sum_{k=1}^n \ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)-\frac{1}{2}(n+1)\right]$
已知 $f^{\prime}(x)=\frac{\sin x}{x}$, 且 $f(\pi)=a$, 则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
三、解答题 （ 共 21 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left(1+\sin ^2 x\right)^{1902}-(\cos x)^{2022}}{\tan ^2 x} $
计算: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^0 \ln (1+t) d t}{x^2}$ 。
设序列 $x_n$ 有界, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ 。
记 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=J, \varliminf_{n \rightarrow \infty} x_n=L .(J < L)$ 。
证明对 $[J, L]$ 中的任何实数都是 $x_n$ 中某子列的极限。
求一组使得极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(\sqrt{1+t^4}-1\right) d t}{\ln \left(1-x^\alpha\right)}=\beta \neq 0,(\alpha, \beta$ 为实数) 成立的 $\alpha, \beta$ 的值.
求函数 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的一个原函数 $F(x)$,使得 $F(0)=1$.
已知 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+2 x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right]$.
求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{-\cot x}{\mathrm{e}^{-x}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{-2 x} \sin ^2 x}+\frac{1}{x^2}\right)
$$
求证
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_0^1\left(a+x^n\right) f(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1+a
$$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有定义, $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f\left(\frac{x}{3}\right)}{x}=0$. 证明: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right\}^{\frac{1}{x}}\left(a_i>0, i=1,2, \cdots, n\right)$.
$\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(1-x)^3 \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$.
$\lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{3 x-5}{x^3 \sin \frac{1}{x^2}}=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \sqrt{\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}}}{\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}-1}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-e^x+1}{1-\sqrt{1-x^2}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos 2 x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right)^2}{x}=$
设 $I_n=n \int_1^a \frac{\mathrm{d} x}{1+x^n}$, 其中 $a>1$. 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.
设一元函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且存在两个正数 $A < B$ 满足 $A < \left|f^{\prime}(x)\right| < B$,证明: $f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上一致连续,但 $f\left(x^3+y^3\right)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上不一致连续.
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导, 目 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=2$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{1 / n}{1-\cos (1 / n)}}$.
设 $0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$ ，作迭代序列 $x_n=\sin \left(x_{n-1}\right) ， n=1,2, \cdots$.
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=0$
(2)证明 $\left\{n x_n^2\right\}$ 收敛，并求其极限
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 问 $a=?, \quad b=?$ 。
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{a x}-\frac{1+b x}{1+2 x}}{1-\sqrt{1-x^2}}=-4$, 求 $a, b$.