题号:2986    题型:单选题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学二)
已知积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^m \arctan x}{2+x^n} \mathrm{~d} x(n \geqslant 0)$ 收敛, 则
$A.$ $m > -2$ 且 $n-m > 1$. $B.$ $m > 0$ 且 $n-m > 1$. $C.$ $m > 0$ 且 $n-m < 1$. $D.$ $m > -2$ 且 $n-m < 1$.
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答案:
A

解析:

解 $\int_0^{+\infty} \frac{x^m \arctan x}{2+x^n} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \frac{x^m \arctan x}{2+x^n} \mathrm{~d} x+\int_1^{+\infty} \frac{x^m \arctan x}{2+x^n} \mathrm{~d} x \stackrel{\text { 记 }}{=} I_1+I_2$.
利用比较审敛法, 因为
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{-m-1} \cdot \frac{x^m \arctan x}{2+x^n}\right)=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\arctan x}{x}=\frac{1}{2},
$$
故当 $-m-1 < 1$, 即 $m > -2$ 时, $I_1$ 收敛.
又 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{n-m} \cdot \frac{x^m \arctan x}{2+x^n}\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^n \arctan x}{2+x^n}=\frac{\pi}{2}$, 故当 $n-m > 1$ 时, $I_2$ 收敛.
综上所述, 当 $m > -2$ 且 $n-m > 1$ 时, 原积分收敛. A 正确.
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