一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^n \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 其中 $a$ 为常数, $n$ 为正整 数, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=12, n=4$
$\text{B.}$ $a=12, n=3$
$\text{C.}$ $a=6, n=4$
$\text{D.}$ $a=6, n=3$
如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的二阶偏导数 $f^{\prime \prime}{ }_{x x}(0,0), f^{\prime \prime}{ }_{y y}(0,0)$ 均存在, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}{ }_x(x, y), f^{\prime}{ }_y(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}{ }_x(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续
$\text{D.}$ $f^{\prime} y(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续
设 $I_1=\iint_D(x+y) \operatorname{sgn}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D(x-y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{l}1, x>0, \\ 0, x=0, \\ -1, x < 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2$
$\text{B.}$ $I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1=I_2$
$\text{D.}$ $I_1=-I_2$
下列结论正确的是( ).
$\text{A.}$ 若$\left\{a_n\right\}$有界, $\lim _ {n \rightarrow \infty }b_{n} $存在，则$ \lim _ {n \rightarrow \infty }a_nb_n $存在.
$\text{B.}$ 若$\left\{a_n\right\}$有界. ,$\lim _ {n \rightarrow \infty }b_{n} =0$, 则 $ \lim _ {n \rightarrow \infty }a_nb_n =0 $.
$\text{C.}$ 若$\left\{a_n\right\}$ 无界,$\left\{b_n\right\}$无界,则$\left\{a_nb_n\right\}$无界
$\text{D.}$ 若$\left\{a_n\right\}$为无穷小数列,$\left\{b_n\right\}$无界,则$\lim _ {n \rightarrow \infty }b_{n} =0$, 则 $ \lim _ {n \rightarrow \infty }a_nb_n =0$
当$x\rightarrow 0$时, $(1+x^n)^{\sin x}-1$ 是比 $( \sqrt {1+x}-1) \arcsin x $高阶的无穷小，比 $x^2-\sin^2x $低阶的无穷小,则$n=$( ).
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $\alpha = \ln \cos 2x$, $\beta = \ln \dfrac {1-x^{2}}{1+x^{2}}$, 则当$x\rightarrow 0$时,$\alpha$是$\beta$的( ).
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶而非等价的无穷小
设 $f(x)= \dfrac {| \ln |x||}{x^{2}-1}$, 则$f(x)$有( ).
$\text{A.}$ 两个跳跃间断点，一个第二类间断点
$\text{B.}$ 两个可去间断点，一个第二类间断点
$\text{C.}$ 一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个第二类间断点
$\text{D.}$ 三个第二类间断点
二、填空题 （共 15 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲线 $y=\frac{x^2}{9 x^2-1}$ 的水平渐近线方程为
函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ 的导数 $f^{\prime}(x)=$.
若 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) \cdots(x+2021)$, 则 $f^{\prime}(0)=$
计算以下极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x+1}\right)^{x+5}$
讨论函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, \quad x=0 .\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 且 $\boldsymbol{a b} \neq 0$, 证明: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\boldsymbol{a}\right)-f\left(x_0-b \boldsymbol{h}\right)}{\boldsymbol{h}}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$.
设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(3)=$
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac { \tan x- \sin x}{x^{2} \ln (1+2x)}= \underline { \quad \quad \quad }.$
$\lim \limits _{x \rightarrow \infty } \left ( \frac {x}{1+x} \right )^{2x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim \limits _{x \rightarrow \infty } \dfrac {2x^{2}+x \cos x+1}{x^{2}+x \sin \frac {2}{x}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim _{x \rightarrow + \infty } \dfrac { \ln (3x^{2}+2x+2)}{ \ln (2x^{4}+3x-1)}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \left ( \dfrac {1}{1- \cos x}- \dfrac {2}{x^{2}} \right )= \underline { \quad \quad \quad }$.
当$x\rightarrow 0$时, $\sqrt {1+ax^{2}}-1 \sim 1- \cos ^{2}x$, 则$a=\underline{\quad\quad\quad}$.
设$ \lim \limits _{x \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {x+c}{x-c} \right )^{ \dfrac {2x^{2}+3x+2}{x+1}}= \lim \limits _{x \rightarrow 0}( \cos x+x^{2})^{ \dfrac {1}{ \sin ^{2}x}}$, 则$c=\underline{\quad\quad\quad}$.
设$ f(x)= \begin{cases} \dfrac { \arctan 3x+e^{x}-1}{x},&x < 0 \\ 1,&x=0 \\ \dfrac {1-(1-x^{2})^{b}}{x \arcsin 2x},&x>0 \end{cases} $，在$x=0$处连续,则$a=\underline{\quad\quad\quad}$,$b=\underline{\quad\quad\quad}$.
三、解答题 （ 共 18 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n$.
求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{y-1}+x \ln x-x y-y \mathrm{e}^{1-y}$ 的最小值.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续.
(1) 证明存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $\int_a^{\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x=(b-\xi) f(\xi)$;
(2) 如果 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内取得最大值和最小值, 证明存在 $\eta \in(a, b)$, 使得
$$
\int_a^\eta f(x) \mathrm{d} x=(\eta-a) f(\eta) .
$$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sqrt[3]{1+3 x}}{\ln \left(1+x^2\right)}$.
讨论 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$
在点 $(0,0)$ 的连续性，偏导数存在性以及可微性.
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(1)=0$, 则 $\left\{x^n\right\}$ 与 $\left\{x^n f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛，说明你的理由.
计算下列极限.
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac {(1+2x)^{ \sin x}-1}{x^{2}}$.
(2)$ \lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac { \ln (e+ \sin 2x)-1}{x}$.
(3) $\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac { \ln \frac { \sin x}{x}}{ \tan ^{2}x}$.
(4)$ \lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac {e^{ \tan x}-e^{x}}{x^{3}}$.
(5) $\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac { \sqrt {1+x \cos x}- \sqrt {1+x}}{x^{2} \arcsin 2x}$.
2.计算下列极限.
(1) $\lim_{x \rightarrow 0}( \cos x+x^{2})^{ \dfrac {1}{x \ln (1+x)}}$.
(2) $\lim _{x \rightarrow 0}(e^{x}+e^{ \sin 2x}-1)^{ \dfrac {1}{x}}$.
(3) $\lim _ {x \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {x-1}{x+1} \right )^{2x}$.
(4) $\lim _ {x \rightarrow 0} \left ( \dfrac { \arctan x}{x} \right )^{ \dfrac {1}{x^{2}}}$.
3.计算下列极限.
(1) $\lim_{x \rightarrow + \infty }( \sqrt {x^{2}+4x+1}- \sqrt {x^{2}-2x+3})$.
(2) $\lim_{x \rightarrow + \infty }(x \arctan x- \dfrac { \pi }{2}x)$.
(3) $\lim_{x \rightarrow 0} \left ( \frac {1}{x}- \dfrac {1}{e^{x}-1} \right )$.
4.计算下列极限.
(1) $\lim_{n \rightarrow \infty }(1+2^{n}+3^{n})^{ \dfrac {1}{n}}$.
(2) $\lim_{n \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {1}{4n^{2}+1}+ \dfrac {2}{4n^{2}+2}+ \cdots + \dfrac {n}{4n^{2}+n} \right )$.
设$ a_{1}>0$,$a_{n+1}= \ln (1+a{n})(n=1,2, \cdots )$.
(1)证明: $\lim_ {n \rightarrow \infty }a_{n}$ 存在，并求此极限；
(2)求$ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac {a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}$.
设$ a_{1}>0$,$a_{n+1}= \ln (1+a{n})(n=1,2, \cdots )$.
(1)证明: $\lim_ {n \rightarrow \infty }a_{n}$ 存在，并求此极限；
(2)求$ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac {a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}$.
设$0 < a_{1} < \pi$ ,$a_{n+1}= \sin a_{n}(n=1,2, \cdots )$
.(1)证明: $\lim _ {n \rightarrow \infty }a_{n} $存在，并求此极限；
(2)求 $\lim _ {n \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {1}{a_{n+1}^{2}}- \dfrac {1}{a_{n}^{2}} \right )$.
设 $a_{1}=1$,$a_{n+1}= \sqrt {1+a_{n}}$, 证明： $\lim _{n \rightarrow \infty }a_{n}$ 存在，并求此极限.
7.设 $a_{1}=1$,$a_{n+1}= \sqrt {1+a_{n}}$, 证明： $\lim _{n \rightarrow \infty }a_{n}$ 存在，并求此极限.
设$f(x)$在$[0,2]$上连续,且$f(0)+2f(1)+3f(2)=6$,证明:存在$c\in [0,2]$,使得$f(c)=1$.
求函数$ f(x)= \dfrac {2x^{2}+x-1}{x^{2}-1}e^{ \dfrac {1}{x}}$ 的间断点，并进行分类.
求$ f(x)=e^{ \dfrac {x- \frac { \pi }{4}}{ \tan (x- \frac { \pi }{4})}}$ 在$(0，2\pi)$内的间断点，并进行分类.