如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的二阶偏导数 $f^{\prime \prime}{ }_{x x}(0,0), f^{\prime \prime}{ }_{y y}(0,0)$ 均存在, 则
$ \text{A.} $ $f^{\prime}{ }_x(x, y), f^{\prime}{ }_y(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续 $ \text{B.} $ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续 $ \text{C.} $ $f^{\prime}{ }_x(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续 $ \text{D.} $ $f^{\prime} y(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续
【答案】 C

【解析】 【解】由于 $f^{\prime \prime}{ }_{x x}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}{ }_x(x, 0)-f^{\prime}{ }_x(0,0)}{x}$, 所以 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}{ }_x(x, 0)=f^{\prime}{ }_x(0,0)$, 故 $f^{\prime}{ }_x(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续, 选项 $\mathrm{C}$ 正确.
选项 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 和 $\mathrm{D}$ 反例: 取 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, x y \neq 0, \\ 0, x y=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, 0)=0$, 进而 $f^{\prime}{ }_x(x, 0)=0$, $f^{\prime \prime}{ }_{x x}(0,0)=0$. 同理, $f^{\prime \prime}{ }_{y y}(0,0)=0$. 但由于 $\lim _{\substack{y=0 \\ x \rightarrow 0}} f(x, y)=0, \lim _{\substack{y=x \\ x \rightarrow 0}} f(x, y)=1, \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存 在, 因此 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续, 选项 $\mathrm{B}$ 不正确. 由此可知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可 微, 因此 $f^{\prime}{ }_x(x, y), f^{\prime}{ }_y(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续, 选项 $\mathrm{A}$ 不正确. 考虑到当 $x \neq 0$ 时, $\lim _{y \rightarrow 0}$ $\frac{f(x, y)-f(x, 0)}{y}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{y}=\infty$, 所以 $f^{\prime}{ }_y(x, 0)$ 不存在, 选项 D 不正确.
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