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下列结论正确的是( ).

$ \text{A.}$ 若$\left\{a_n\right\}$有界, $\lim _ {n \rightarrow \infty }b_{n} $存在，则$ \lim _ {n \rightarrow \infty }a_nb_n $存在. $ \text{B.}$ 若$\left\{a_n\right\}$有界. ,$\lim _ {n \rightarrow \infty }b_{n} =0$, 则 $ \lim _ {n \rightarrow \infty }a_nb_n =0 $. $ \text{C.}$ 若$\left\{a_n\right\}$ 无界,$\left\{b_n\right\}$无界,则$\left\{a_nb_n\right\}$无界 $ \text{D.}$ 若$\left\{a_n\right\}$为无穷小数列,$\left\{b_n\right\}$无界,则$\lim _ {n \rightarrow \infty }b_{n} =0$, 则 $ \lim _ {n \rightarrow \infty }a_nb_n =0$

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我来讲解

答案：

解析：

取 $a_{n}=1+(-1)^{n}$,$b_{n}= \frac {n+1}{n}$, 显然 $|a_{n}| \le 2$,$ \lim \limits _{n \rightarrow \infty }b_{n}=1$, 但 $\lim \limits_ {n \rightarrow \infty }a_{n}b_{n} $不存在，排除A项;
取 $a_n=[1+(-1)^n]n,b_n=[1-(-1)^n]n$, 显然 $\left\{a_n\right\} $无界，$\left\{b_n\right\} $无界，但是$ a_nb_n=0$, 排除C项;取$ a_{n}= \frac {1}{n}$,$b_{n}=[1+(-1)^{n}]n$, 显然${a_n}$为无穷小数列，$\left\{b_n\right\} $无界，但是$ \lim \limits_ {n \rightarrow \infty }a_{n}b_{n}= \lim \limits _{n \rightarrow \infty }[1+(-1)^{n}] $不存在,排除D项,选B.

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