-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

当$x\rightarrow 0$时, $(1+x^n)^{\sin x}-1$ 是比 $( \sqrt {1+x}-1) \arcsin x $高阶的无穷小，比 $x^2-\sin^2x $低阶的无穷小,则$n=$( ).

$ \text{A.}$ 1 $ \text{B.}$ 2 $ \text{C.}$ 3 $ \text{D.}$ 4

0 人点赞

10 次查看

我来讲解

答案：

解析：

当$x\rightarrow 0$时 ,$(1+x^{n})^{ \sin x}-1=e^{( \sin x) \cdot \ln (1+x^{n})}-1 \sim ( \sin x) \cdot \ln (1+x^{n}) \sim xⁿ⁺¹$;

由$x\rightarrow 0$时, $\sqrt {1+x}-1=(1+x)^{ \frac {1}{2}}-1 \sim \frac {x}{2}$

得 $( \sqrt {1+x}-1) \arcsin x \sim \frac {x^{2}}{2}$;由 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac {x^{2}- \sin x}{x^{4}}= \lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac {x+ \sin x}{x^{4}}$,$ \frac {x- \sin x}{x^{3}}=2 \lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac {x- \sin x}{x^{3}}= \frac {2}{3} \lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac {1- \cos x}{x^{2}}= \frac {1}{3} $
得$x^{2}- \sin ^{2}x \sim \frac {1}{3}x^{4}$;则$n+1=3$,从而$n=2$,选B.

①点击首页查看更多试卷和试题 , 点击查看本题所在试卷
② 下载本题Word版或下载本题PDF版点击赞助本站

关闭