设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^n \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 其中 $a$ 为常数, $n$ 为正整 数, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$ \text{A.} $ $a=12, n=4$ $ \text{B.} $ $a=12, n=3$ $ \text{C.} $ $a=6, n=4$ $ \text{D.} $ $a=6, n=3$
【答案】 B

【解析】 由题设可知 $x \rightarrow 0$ 时, $g(x)=n x^{n-1} \ln (1+x)+\frac{x^n}{1+x} \sim(n+1) x^n$, 因而有
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a \int_0^{\sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t}{(n+1) x^n}=\frac{a}{n(n+1)} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right)}{x^{n-1}}=\frac{a}{n(n+1)} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x^{n-1}}=1,
$$
因而有 $a=12, n=3$, 答案为 $B$.
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