设 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上有二阶连续偏导数，若对以任一点 $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2$ 为中心，以任意 $r>0$ 为半径的上半圆周
$$
L_r: y-y_0=\sqrt{r^2-\left(x-x_0\right)^2} .
$$

均有 $I(r)=\int_{L_r} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$. 证明:
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P(x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} \equiv 0
$$