数学试题讲解

设

P (x, y), Q (x, y)

在

R^{2}

上有二阶连续偏导数，若对以任一点

(x_{0}, y_{0}) \in R^{2}

为中心，以任意

r > 0

为半径的上半圆周

L_{r} : y - y_{0} = \sqrt{r^{2} - {(x - x_{0})}^{2}} .

均有

I (r) = \int_{L_{r}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0

. 证明:

P (x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} \equiv 0