一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知二元函数 $F(x, y)=f(x, y) \varphi(x, y)$, 其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $f(0,0)=0$, $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_x^{\prime}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_y^{\prime}(x, y)=0$, 则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续, 但偏导数不存在
$\text{C.}$ 连续, 偏导数存在但不可微
$\text{D.}$ 可微
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$.
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 可微, 且取极值
$\text{B.}$ 可微但不取极值
$\text{C.}$ 不可微,但取极值
$\text{D.}$ 不可微,也不取极值
若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y=1}} \frac{f(x, y)-2 x+4 y-1}{\sqrt{x^2+y^2-2 x-2 y+3}-1}=2$, 则
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处不存在偏导数.
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处存在偏导数但不可微.
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=2 \mathrm{~d} x-4 \mathrm{~d} y$.
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=-2 \mathrm{~d} x+4 \mathrm{~d} y$.
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=2\left(x^2-y^2\right)$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的极大值为
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且 $f\left(x, x^2\right)=x^2, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x y, f_x^{\prime}(x, 0)=2 x$, 则 $\mathrm{d} f(1,1)$
设 $x=u \cos \frac{v}{u}, y=u \sin \frac{v}{u}$, 其中 $u>0, \frac{v}{u} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\frac{\partial v}{\partial x}=$
一水平横放的圆柱形油桶, 设 $F_1$ 为桶内盛半桶油时桶的一个端面所受的侧压力, $F_2$ 为桶内盛满油时桶的一个端面所受的侧压力, 则 $\frac{F_1}{F_2}= $.
设 $z=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ 在坐标变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x^2-y^2 \\ v=2 x y\end{array}\right.$ 下关于 $u, v$ 变量的表达式为
$\lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty, 2)}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x^2}{x+y}}=$
设 $z=\left(e^{x y}+x\right)^x,\left.\mathrm{~d} z\right|_{(1,0)}=$
已知 $f(x, y)=x+(y-1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}$, 则 $f_x(x, 1)=$
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\arctan \left(x^3+y^3\right)}{x^2+y^2}=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ 的通解为
已知 $f(x, y)=x+(y-1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}$, 则 $f_x(x, 1)=$
设 $z=x y e^{x^2+y^2}$, 求 $z_{x y}^{\prime \prime}$ 。
求函数 $u=x^2+y^2-8 x+4 y$ 在 $D: x^2+y^2 \leq 9$ 上的最值。
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $z=u^2 \ln v$ ，而 $u=\frac{1}{y}, v=3 x+2 y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1\end{array}\right.$ 确定两个隐函数 $x=x(z), y=y(z)$ ，计算 $\frac{d x}{d z}, \frac{d y}{d z}$
求函数 $z=f(x, y)=3 x^2+3 y^2-x^3$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}$ 上的最大值与最小值.
在除原点之外的上半空间 $z \geqslant 0$ 上, 函数 $u(x, y, z)$ 有二阶连续偏导数, 满足
$$
u_x^{\prime}=2 x+y+z+x f(r), u_y^{\prime}=x+y f(r), u_z^{\prime}=x+z+z f(r),
$$
其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, u_{x x}^{\prime \prime}+u_{y y}^{\prime \prime}+u_{z z}^{\prime \prime}=0, f(1)=1$.
(1) 求 $f(r)$ 的表达式;
(2) 求 $f(r)$ 在约束条件 $x^2+\frac{y^2}{2}-z^2=1$ 下的最大值与最小值.
求函数 $f(x)=x^2-x y+y^2+3 x$ 的极值, 并指出是极大值还是极小值.
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $2 x^2+y^2+z^2+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 确定的, 求 $z=z(x, y)$ 的极值.
设函数 $f(u)$ 具有连续导数, $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{y}{x}\right)$ 满足 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{x}$, 若 $f(1)=1$, 求 $f(u)$ 的表达式.
设 $z=f\left(x^2-y^2, e^{x y}\right), f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$.
设函数 $u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f, g$ 具有二阶连续偏导数,
求证: $x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0$.
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^{x z}-2 z$ 确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
设 $z=f\left(x^2+y^2, \cos (x y)\right), f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设函数 $u=f(x y, g(x))$, 其中 $f$ 具有二阶连续偏导数, $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取到极值
$$
g(1)=1 \text {, 求 }\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right|_{(1.1)}
$$
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^{x z}-2 z$ 确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.