一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2-1}}, & |x| < 1, \\ x^4-b x^2+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 是可微函数, 则 $b+c=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内有连续的二阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f^{\prime}(x)}{x-\sin x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设函数 $f(x), g(x)$ 二阶可导且二阶导函数在 $x=a$ 处连续, 若 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}>0$, 则下列说法中, 正确的个数是
① 在 $a$ 的某邻域内, $f(x) \geqslant g(x)$.
② 在点 $(a, f(a))$ 处, $y=f(x)$ 的曲率大于 $y=g(x)$ 的曲率.
③ 若 $x=a$ 为 $f(x)$ 的极大值点, 则 $x=a$ 也为 $g(x)$ 的极大值点.
④ 若 $x=a$ 为 $f(x)$ 的极小值点, 则 $x=a$ 也为 $g(x)$ 的极小值点.
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$.
(2) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$.
(3) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限.
(4) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限.
$\text{A.}$ 0个
$\text{B.}$ 1个
$\text{C.}$ 2个
$\text{D.}$ 3个
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续, $f(1)=1$, 且对任意正数 $a, b, \int_{\frac{1}{a+b}}^{\frac{1}{a}} f(x) \mathrm{d} x$ 的值仅与 $b$ 有关, 则下列说法中, 错误的是
$\text{A.}$ $f(x)>0$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调函数.
$\text{D.}$ 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为凸曲线.
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|A B| \neq 0$
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|A B|=0$
$\text{C.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|A B| \neq 0$
$\text{D.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|A B|=0$
设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)$ ，若 $A$ 的伴随矩阵的秩等于1，则必有
$\text{A.}$ $a=b$ 或 $a+2 b=0$
$\text{B.}$ $a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$
$\text{C.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b=0$
$\text{D.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$
设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵， $B$ 为 $n \times m$ 型矩阵， $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵. 若 $A B=E$ ，则
$\text{A.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{B.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=n$
$\text{C.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{D.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=n$
二、填空题 （共 19 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \cdots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n} b_{1} & a_{n} b_{2} & \cdots & a_{n} b_{n}\end{array}\right)$, 其中 $a_{i} \neq 0, b_{i} \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=$
设 $D$ 是由曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及两坐标轴围成的平面薄片型零件，其密度函数为 $\rho(x, y)=3 \sqrt{x}+2 \sqrt{y}$ ，则该零件的质量为
设 $f(x)=x e^x$, 求 $f^{(n)}(x), n \geq 1$;
求函数 $\arccos x$ 的Maclaurin展开式（到4阶）。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=t+\sin t$ 及 $y=\arctan t-y^3(t>0)$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x}$;
设 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x+2}$, 则 $f^{(n)}(0)=$
设函数 $f(x)$ 连续, $F(t)=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^{\frac{1}{x}} x^3 u f(x u) \mathrm{d} u$, 则 $F^{\prime}(t)=$
$f(x)=x^{\sin x}+(\cos x)^x, \quad x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
$f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}, \quad|x| < 1$
$f(x)=x \arctan x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right)$
$f(x)=x+2 x^2 \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0$
设 $y=\ln \left(x^2+e^{3 x}\right)$, 则 $d y=$
位于曲线 $y=\frac{e^x}{1+e^{2 x}}(x \geq 0)$ 下方、 $x$ 轴上方的无界图形的面积为
设某商品的需求函数为 $Q=100-2 p^2$, 则当 $p=5$ 时的边际需求为
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right)$ ，且秩 $(A)=3$ ，则 $k=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^3$ 的秩为
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^3$ 的秩为
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,2, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\left|4 A^{-1}-E\right|=$
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值互不相同，且行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则 $A$ 的秩为
三、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x, y)=\sqrt[3]{x^2 y}$, 问 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点
( 1$)$ 是否连续?
( 2 ) 偏导数是否存在?
( 3 ) 是否可微?
函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有一阶连续导数, 且对任意的 $x \in(0,+\infty)$满足 $x \int_0^1 f(t x) d t=2 \int_0^x f(t) d t+x f(x)+x^3$, 且 $f(1)=0$, 求 $f(x)$.
水平放置着一根长为 $L$, 密度为 $\rho$ 的均匀细棒, 在其左端的垂线上与棒相距 $b$ 处有一质量为 $m$ 的质点, 求棒对质点的引力沿 $x$ 轴方向的分力 (设引力常数为 $k$ ).
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t \\ y=e^y \sin t+1\end{array}\right.$, 求 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}$ 。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定, 求函数 $y=y(x)$ 在 $x=1, y=1$处的一阶导数值、二阶导数值。
设 $y=e^{f(\sin 2 x)}$, 其中 $f$ 具有二阶导数, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ 。
设 $A$ 为 $m$ 阶实对称矩阵且正定， $B$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $B^T$ 为 $B$ 的转置矩阵，试证: $B^T A B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $B$ 的秩 $r(B)=n$.
设 $\alpha, \beta$ 为 3 维列向量，矩阵 $A=\alpha \alpha^T+\beta \beta^T$ ，其中 $\alpha^T, \beta^T$ 分别是 $\alpha, \beta$ 的转置. 证明:
(1) 秩 $r(A) \leq 2$;
(2) 若 $\alpha, \beta$ 线性相关，则秩 $r(A) < 2$.