设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续, $f(1)=1$, 且对任意正数 $a, b, \int_{\frac{1}{a+b}}^{\frac{1}{a}} f(x) \mathrm{d} x$ 的值仅与 $b$ 有关, 则下列说法中, 错误的是
A. $f(x)>0$.
B. $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
C. $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调函数.
D. 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为凸曲线.