在除原点之外的上半空间 $z \geqslant 0$ 上, 函数 $u(x, y, z)$ 有二阶连续偏导数, 满足
$$
u_x^{\prime}=2 x+y+z+x f(r), u_y^{\prime}=x+y f(r), u_z^{\prime}=x+z+z f(r),
$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, u_{x x}^{\prime \prime}+u_{y y}^{\prime \prime}+u_{z z}^{\prime \prime}=0, f(1)=1$.
(1) 求 $f(r)$ 的表达式;
(2) 求 $f(r)$ 在约束条件 $x^2+\frac{y^2}{2}-z^2=1$ 下的最大值与最小值.