设 $V=\mathbb{P}^{2 \times 2}$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间，记 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，线性变换： $\sigma: X \mapsto A X, \forall X \in \mathbb{P}^{2 \times 2}$.
(1) 求线性变换 $\sigma$ 在基:
$$
E_{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
下的矩阵.
（2）如果 $A$ 相似于对角矩阵，证明：线性变换 $\sigma$ 在 $V$ 的某组基下的矩阵是对角矩阵.