设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>1)$ 阶非异阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的逆阵. 任取 $r$ 个指标 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_r \leq n$, 剩余的指标记为 $1 \leq i_{r+1} < \cdots < i_n \leq n$. 证明:
$$
|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{B}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
i_1 & i_2 & \cdots & i_r
\end{array}\right)=\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{ccc}
i_{r+1} & \cdots & i_n \\
i_{r+1} & \cdots & i_n
\end{array}\right) .
$$