设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\boldsymbol{\varphi}, \boldsymbol{\psi}$ 是 $V$ 上的线性变换,满足 $\varphi \boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{\psi} \varphi$. 证明: 存在正整数 $m$, 使得 $\operatorname{Im}\left(\boldsymbol{\varphi}^m+\boldsymbol{\psi}^m\right)=\operatorname{Im} \varphi^m+\operatorname{Im} \boldsymbol{\psi}^m$.