设 $S=\left\{(a, b) \in \mathbb{R}^2 \mid a^2+b^2=1\right.$ 且 $\left.b \neq 1\right\}$, 定义映射 $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$, $\varphi(a, b)=\frac{a}{1-b}$.
(1) 验证 $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$ 是 个双射;
(2) 请在 $S$ 上定义加法 $\oplus$ 和数乘 $\circ$, 使 $(S, \oplus, \circ)$ 成为实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间, H $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$ 成为线性同构.