题号:773    题型:填空题    来源:1995年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{E}\right.$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵), $|\boldsymbol{A}| < 0$, 求 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|$.
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答案:
方法一:根据 $A A^{T}=E$ 有
$$
|A+E|=\left|A+A A^{T}\right|=\left|A\left(E+A^{T}\right)\right|=|A||E+A|=|A||A+E| \text {, }
$$
移项得 $\quad(1-|A|)|A+E|=0$.
因为 $|A| < 0$, 故 $1-|A| > 0$. 所以 $|A+E|=0$.
方法二: 因为 $\left|(A+E) A^{T}\right|=\left|A A^{T}+A^{T}\right|=\left|E+A^{T}\right|=|E+A|$,
所以 $|A+E||A|=|E+A|$,
即 $(1-|A|)|A+E|=0$.
因为 $|A| < 0$, 故 $1-|A| > 0$. 所以 $|A+E|=0$.
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