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yan5

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x, y)

连续, 则累次积分

\int_{0}^{1} d x \int_{x - 1}^{\sqrt{x - x^{2}}} f (x, y) d y

等于

A.

\int_{- 1}^{1} d y \int_{0}^{y + 1} f (x, y) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{0}^{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}}} d x

B.

\int_{- 1}^{1} d y \int_{0}^{y + 1} f (x, y) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{0}^{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}}} d x

C.

\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ - \sin θ}} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r + \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\cos θ} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

D.

\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ + \sin θ}} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r + \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\sin θ} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

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2. 曲线

f (x) = \int_{x}^{\sqrt{3}} x \sin t^{2} d t

与直线

x = 0, x = \sqrt{3}, y = 0

所围平面图形绕

y

轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

A.

\frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

B.

- \frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

C.

\frac{2}{3} π \sin 3 - 2 π \cos 3

D.

- π \cos 3 - π \sin 3

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3. 设曲面

x y z = a (a > 0)

与球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

在某点相切,则

a =

A.

\sqrt{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{\sqrt{3}}{9}

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4. 设级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^{p} n}

与积分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{\sqrt{\cos x} (\sqrt{\sin x})^{p}} (p > 0)

均收玫, 则

A.

1 < p < 2

B.

0 < p ⩽ 2

C.

0 < p < 1

D.

1 ⩽ p ⩽ 2

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5. 设

y_{1} = e^{- x}, y_{2} = 2 x

是常系数齐次线性微分方程

y^{'''} + a y^{''} + b y^{'} + c y = 0

的两个解, 则该方程的通解可为

A.

C_{1} e^{- x} + C_{2} + C_{3} x

B.

C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{x} + C_{3} x

C.

C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{x} + C_{3}

D.

C_{1} e^{- x} + C_{2} x e^{x} + C_{3}

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6. 设

Σ

为直线

L : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1}

绕

z

轴旋转一周而成的曲面, 均匀几何体

Ω

是

Σ

位于

z = 0

与

z = 1

之间的部分, 则几何体

Ω

的形心为

A.

(\frac{1}{2}, 0, 0)

B.

(0, 0, \frac{9}{16})

C.

(0, 0, \frac{3}{4})

D.

(\frac{3}{4}, 0, 0)

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7. 若二次曲面的方程

x^{2} + 3 y^{2} + z^{2} + 2 a x y + 2 x z + 2 y z = 2

经过正交变换化为

y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} = 2

, 则

a =

A.

B.

C.

D.

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8. 已知曲面

z = 4 - x^{2} - y^{2}

上点

P

处的切平面平行于平面

2 x + 2 y + z - 1 = 0

, 则点

P

的坐标是

A.

(1, - 1, 2)

B.

(- 1, 1, 2)

C.

(1, 1, 2)

D.

(- 1, - 1, 2)

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二、填空题（共 15 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设函数

f (x, y) = \int_{0}^{x y} e^{x x^{2}} d t

, 则

{\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} |}_{(1, 1)} =

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10. 求椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

在第一象限中的切线（　　）, 使它被两坐标轴所截的线段最短.

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11. 计算三重积分

∭_{Ω} z \cos (x^{2} + y^{2}) d x d y d z =

（　　）, 其中

Ω

为

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, z \geq

0, R > 0

且

x, y, z \in R

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12. 极坐标曲线

r = 1 + \cos θ

在

θ = \frac{π}{3}

对应的点处的法线方程为

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13. 设曲线

L : {\begin{cases} y^{2} = x, \\ z = 3 (y - 1), \end{cases}

则

L

在

y = 1

对应点处的切线方程为

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14. 双纽线

r^{2} = a^{2} \cos 2 θ (a > 0)

绕极轴旋转所成旋转曲面的面积为

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15. 设曲线的极坐标方程为

r = \frac{1}{3 θ - π}

, 则该曲线的斜渐近线方程为

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16. 设空间曲线

L

的方程为

{\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 1 \\ x + 2 y + z = 1 \end{cases}

, 从

z

轴正向看是顺时针方向, 则

\oint_{L} \frac{- y d x + x d y + z (x^{2} + 4 y^{2}) d z}{x^{2} + 4 y^{2}} =

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17. 设

f (u)

为可导函数, 曲线

y = f (e^{x})

过点

(1, 2)

, 且它在点

(1, 2)

处的切线过点

(0, 0)

, 那么函数

f (u)

在

u = e

处, 当

u

取得增量

Δ u = 0.01

时, 相应的函数值增量的线性主部是

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18. 曲线

y = \int_{0}^{x} \tan t d t (0 ⩽ x ⩽ \frac{π}{3})

的弧长

s =

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19. 设函数

f (x)

在区间

[0, 1]

上连续可微, 且

\int_{0}^{1} f (x) d x = 3, \int_{0}^{1} x f (x) d x = 3,

则积分

\int_{0}^{1} x (x - 1) [3 - f^{'} (x)] d x =

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20.

\int_{9}^{4} \frac{1}{1 + \sqrt{x}} d x =

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21. 设曲线

γ

由

y^{2} = \frac{1}{3} x^{2} (1 - 4 x), y \geq 0, x \in [0, \frac{1}{4}]

所定义，计算

γ

的弧长

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22. 求经过原点, 且与两平面

x + 2 y + 3 z - 13 = 0

和

3 x + y - z - 1 = 0

都垂直的平面的方程。

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23. 求椭球面

\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{4} = 1

在点

(1, - 1, 1)

处的切平面方程。

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三、解答题（共 17 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

24. 设

Σ

为曲面

Z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (\leq x^{2} + y^{2} \leq 4)

的下侧,

f (x)

是连续函数, 计算

I = \iint_{Σ} [x f (x y) + 2 x y - y] d y d z + [y f (x y) + 2 y + x] d z d x + [z f (x y) + z] d x d y

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25. 设

{\begin{matrix} x = \arccos t \\ y = t - \arcsin t \end{matrix}

, 求

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

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26. 设参数方程

{\begin{cases} x = \ln (1 + t^{2}) \\ y = t - \arctan t \end{cases}

, 求

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

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27. 设某

A

从

O x y

平面的原点出发, 沿

x

轴正方向前进; 同时某

B

从点

(0, b)

开始追踪

A

, 即

B

的运动方向永远指向

A

并与

A

保持等距

b

, 试求

B

的光滑运动轨迹.

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28. 计算曲面积分

∭ \int_{D} \sqrt{\frac{1 - x^{2} - y^{2} - z^{2} - w^{2}}{1 + x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}}} d x d y d z d w

其中

D

为

x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} \leq 1, x, y, z, w \geq 0

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29. 设平面区域

D_{1}

由曲线

y = | x |

, 直线

x = - 1, x = a, y = 0

所围成, 平面区域

D_{2}

由曲线

y = | x |

, 直线

x = a, x = 1, y = 0

所围成, 其中

0 < a < 1

.
(1) 求

D_{1}

绕

x

轴旋转所得旋转体的体积

V_{1}, D_{2}

绕直线

x = a

旋转所得旋转体的体积

V_{2}

.
(2) 求

V_{1} + V_{2}

的最小值.

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30. 设

Σ

为曲面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

介于

z = 0

与

z = 1

之间部分的下侧,

f (x)

为连续函数, 计算

I = \iint_{Σ} [- x f (x + y) - 2 x] d y d z + [- 2 y - y f (x + y)] d z d x + [- z f (x + y)] d x d y .

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31. 设函数

f (x)

在

[0, 2]

上连续, 在

(0, 2)

内二阶可导,

f^{''} (x) < 0

, 且

f (0) = 0, f^{'} (1) = 0

, 又设曲线

y = f (x)

上任一点

(x, y)

处的曲率半径恒等于 1 .
(1) 求函数

f (x)

;
(2) 计算

\iint_{D} x y d x d y

, 其中

D

是由直线

x = 0, x = 2, y = 2

及曲线

y = f (x)

围成的平面区域.

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32. 设函数

f (x, y)

的全微分为

d f (x, y) = (2 a x + b y) d x + (2 b y + a x) d y (a, b

为常数), 且

f (0, 0) = - 3, f_{x}^{'} (1, 1) = 3

.
(I) 求

f (x, y)

;
(II) 求点

(- 1, - 1)

到曲线

f (x, y) = 0

上的点的距离的最大值.

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33. 设非负函数

f (x)

在

[0, t] (t > 0)

上有二阶连续导数, 且

f (0) = 0, f^{″} (x) > 0, D =

{(x, y) ∣ 0 ⩽ x ⩽ t, 0 ⩽ y ⩽ f (x)}

, 证明:

\iint_{D} x d x d y > \frac{2}{3} t \iint_{D} d x d y .

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34. 设函数

f (x)

在

[0, 2]

上连续, 在

(0, 2)

内二阶可导,且

f (0) = f (2) = 1, f (1) = 3

, 试证: 至少存在一点

ξ \in (0, 2)

, 使得

f^{''} (ξ) = - 4

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35. 设三次曲线

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a < 0)

以原点为极小值点, 并且过点

(1, 1)

, 试从这些曲线中确定一条三次曲线, 使其极大值最小.

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36. 设函数

φ (x)

在

[- a, a]

上连续，且

φ (x) > 0, f (x) = \int_{- a}^{a} | x - t | φ (t) d t,

证明

f (x)

在

[- a, a]

上描述的曲线为凹曲线.

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37. 设三个向量分别为

\vec{a} = (2, - 2, 1), \vec{b} = (1, - 1, 3), \vec{c} = (1, - 2, 0)

, 求

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

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38. 求通过直线

L_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 3}{- 1}

且与直线

L_{2} : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}

平行的平面方程.

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39. 求曲面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

上平行于平面

x + 4 y + 6 z = 1

的切平面方程.

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40. 求曲线

{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} = 1, \\ x + 2 y = 1, \end{cases}

上到坐标原点距离最近的点.

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