一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则累次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x-1}^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 {~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta-\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
曲线 $f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 \mathrm{~d} t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的 旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\pi \sin 3$.
设曲面 $x y z=a(a>0)$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 在某点相切,则 $a=$
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{9}$.
设级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^p n}$ 与积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\cos x}(\sqrt{\sin x})^p}(p>0)$ 均收玫, 则
$\text{A.}$ $1 < p < 2$.
$\text{B.}$ $0 < p \leqslant 2$.
$\text{C.}$ $0 < p < 1$.
$\text{D.}$ $1 \leqslant p \leqslant 2$.
设 $y_1=\mathrm{e}^{-x}, y_2=2 x$ 是常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的两 个解, 则该方程的通解可为
$\text{A.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2+C_3 x$.
$\text{B.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^x+C_3 x$.
$\text{C.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^x+C_3$.
$\text{D.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 x \mathrm{e}^x+C_3$.
设 $\Sigma$ 为直线 $L: \frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面, 均匀几何体 $\Omega$ 是 $\Sigma$ 位于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间的部分, 则几何体 $\Omega$ 的形心为
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{2}, 0,0\right)$.
$\text{B.}$ $\left(0,0, \frac{9}{16}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(0,0, \frac{3}{4}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\frac{3}{4}, 0,0\right)$.
若二次曲面的方程 $x^2+3 y^2+z^2+2 a x y+2 x z+2 y z=2$ 经过正交变换化为 $y_1^2+4 y_2^2=2$, 则 $a=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$
$\text{C.}$ $(1,1,2)$
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$
二、填空题 （共 15 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $f(x, y)=\int_0^{x y} \mathrm{e}^{x x^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$
求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在第一象限中的切线（ ）, 使它被两坐标轴所截的线段最短.
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z \cos \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ （ ）, 其中 $\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2, z \geq$ $0, R>0$ 且 $x, y, z \in \mathbb{R}$.
极坐标曲线 $r=1+\cos \theta$ 在 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 对应的点处的法线方程为
设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}y^2=x, \\ z=3(y-1),\end{array}\right.$ 则 $L$ 在 $y=1$ 对应点处的切线方程为
双纽线 $r^2=a^2 \cos 2 \theta(a>0)$ 绕极轴旋转所成旋转曲面的面积为
设曲线的极坐标方程为 $r=\frac{1}{3 \theta-\pi}$, 则该曲线的斜渐近线方程为
设空间曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+4 y^2=1 \\ x+2 y+z=1\end{array}\right.$, 从 $z$ 轴正向看是顺时针方向, 则
$$
\oint_L \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+z\left(x^2+4 y^2\right) \mathrm{d} z}{x^2+4 y^2}=
$$
设 $f(u)$ 为可导函数, 曲线 $y=f\left(\mathrm{e}^x\right)$ 过点 $(1,2)$, 且它在点 $(1,2)$ 处的切线过点 $(0,0)$, 那么函 数 $f(u)$ 在 $u=\mathrm{e}$ 处, 当 $u$ 取得增量 $\Delta u=0.01$ 时, 相应的函数值增量的线性主部是
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}\right)$ 的弧长 $s=$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续可微, 且
$$
\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=3, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=3,
$$
则积分 $\int_0^1 x(x-1)\left[3-f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=$
$\int_9^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
设曲线 $\gamma$ 由 $y^2=\frac{1}{3} x^2(1-4 x), y \geq 0, x \in\left[0, \frac{1}{4}\right]$ 所定义，计 算 $\gamma$ 的弧长
求经过原点, 且与两平面 $x+2 y+3 z-13=0$ 和 $3 x+y-z-1=0$ 都垂直的平面的方程。
求椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}=1$ 在点 $(1,-1,1)$ 处的切平面方程。
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\Sigma$ 为曲面 $Z=\sqrt{x^2+y^2}\left(\leq x^2+y^2 \leq 4\right)$ 的下侧, $f(x)$ 是连续函数, 计算 $I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)+2 x y-y] d y d z+[y f(x y)+2 y+x] d z d x+[z f(x y)+z] d x d y$
设 $\left\{\begin{array}{c}x=\arccos t \\ y=t-\arcsin t\end{array}\right.$, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$.
设参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ , 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
设某 $A$ 从 $O x y$ 平面的原点出发, 沿 $x$ 轴正方向前进; 同时某 $B$ 从点 $(0, b)$ 开始追踪 $A$, 即 $B$ 的运动方向永远指向 $A$ 并与 $A$ 保持等距 $b$, 试求 $B$ 的光滑运动轨迹.
计算曲面积分
$$
\iiint \int_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2-z^2-w^2}{1+x^2+y^2+z^2+w^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} w
$$
其中 $D$ 为 $x^2+y^2+z^2+w^2 \leq 1, x, y, z, w \geq 0$.
设平面区域 $D_1$ 由曲线 $y=|x|$, 直线 $x=-1, x=a, y=0$ 所围成, 平 面区域 $D_2$ 由曲线 $y=|x|$, 直线 $x=a, x=1, y=0$ 所围成, 其中 $0 < a < 1$.
(1) 求 $D_1$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V_1, D_2$ 绕直线 $x=a$ 旋转所得旋转体的体积 $V_2$.
(2) 求 $V_1+V_2$ 的最小值.
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 介于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间部分的下侧, $f(x)$ 为连续函数, 计算
$$
I=\iint_{\Sigma}[-x f(x+y)-2 x] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[-2 y-y f(x+y)] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[-z f(x+y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 内二阶可导, $f^{\prime \prime}(x) < 0$, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(1)=0$, 又设 曲线 $y=f(x)$ 上任一点 $(x, y)$ 处的曲率半径恒等于 1 .
(1) 求函数 $f(x)$;
(2) 计算 $\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 是由直线 $x=0, x=2, y=2$ 及曲线 $y=f(x)$ 围成的平面区域.
设函数 $f(x, y)$ 的全微分为 $\mathrm{d} f(x, y)=(2 a x+b y) \mathrm{d} x+(2 b y+a x) \mathrm{d} y(a, b$ 为常数), 且 $f(0,0)=-3, f_x^{\prime}(1,1)=3$.
(I) 求 $f(x, y)$;
(II) 求点 $(-1,-1)$ 到曲线 $f(x, y)=0$ 上的点的距离的最大值.
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0, t](t>0)$ 上有二阶连续导数, 且 $f(0)=0, f''(x)>0, D=$ $\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant f(x)\}$, 证明:
$$
\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y>\frac{2}{3} t \iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 内二阶可导,且 $f(0)=f(2)=1, f(1)=3$, 试证: 至少存在一点 $\xi \in(0,2)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=-4$.
设三次曲线 $y=a x^3+b x^2+c x+d(a < 0)$ 以原点为极小值点, 并且过点 $(1,1)$, 试从这些曲线 中确定一条三次曲线, 使其极大值最小.
设函数 $\varphi(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，且
$$
\varphi(x)>0, f(x)=\int_{-a}^a|x-t| \varphi(t) \mathbf{d} t,
$$
证明 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上描述的曲线为凹曲线.
设三个向量分别为 $\vec{a}=(2,-2,1), \vec{b}=(1,-1,3), \vec{c}=(1,-2,0)$, 求 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
求通过直线 $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}$ 且与直线 $L_2: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ 平行的平面方程.
求曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上平行于平面 $x+4 y+6 z=1$ 的切平面方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+z^2=1, \\ x+2 y=1,\end{array}\right.$ 上到坐标原点距离最近的点.