【ID】2498 【题型】解答题 【类型】模拟考试 【来源】2022年9月考研数学 (一二三) 第一次模拟试题
计算曲面积分
$$
\iiint \int_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2-z^2-w^2}{1+x^2+y^2+z^2+w^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} w
$$
其中 $D$ 为 $x^2+y^2+z^2+w^2 \leq 1, x, y, z, w \geq 0$.
答案:
解: 令
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=r \cos \psi \\
y=r \sin \psi \cos \varphi \\
z=r \sin \psi \sin \varphi \cos \theta \\
w=r \sin \psi \sin \varphi \sin \theta
\end{array}\right.
$$
此时有
$$
J=\frac{\partial(x, y, z, w)}{\partial(r, \psi, \varphi, \theta)}=r^3 \sin ^2 \psi \sin \varphi, x^2+y^2+z^2+w^2=r^2
$$
且有
$$
D=\left\{(r, \psi, \varphi, \theta) \mid 0 \leq \psi, \varphi, \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq 1\right\}
$$

\begin{aligned}
&=\frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 \psi \mathrm{d} \psi \int_0^1 \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}} r^3 \mathrm{~d} r\\
&=\frac{\pi^3}{16} \int_0^1 \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}} r^2 \mathrm{~d} r^2=\frac{\pi^2}{16}\left(1-\frac{\pi}{4}\right)
\end{aligned}

解析:

视频讲解

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