设函数 $\varphi(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续,且
$$
\varphi(x) > 0, f(x)=\int_{-a}^a|x-t| \varphi(t) \mathbf{d} t,
$$
证明 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上描述的曲线为凹曲线.
【答案】 【参考解析】因为 $f(x)=\int_{-a}^a|x-t| \varphi(t) \mathrm{d} t$ ,所以
$$
\begin{aligned}
f(x)=& \int_x^a(t-x) \varphi(t) \mathrm{d} t+\int_{-a}^x(x-t) \varphi(t) \mathrm{d} t \\
=& \int_a^x(x-t) \varphi(t) \mathrm{d} t+\int_{-a}^x(x-t) \varphi(t) \mathrm{d} t \\
=& x \cdot \int_a^x \varphi(t) \mathrm{d} t+x \cdot \int_{-a}^x \varphi(t) \mathrm{d} t \\
&-\int_a^x t \varphi(t) \mathrm{d} t-\int_{-a}^x t \varphi(t) \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$
判断函数描述的曲线图形的凹凸性,对函数求二阶导数,于是
$$
\begin{gathered}
f^{\prime}(x)=\int_a^x \varphi(t) \mathrm{d} t+x \cdot \varphi(x)+\int_{-a}^x \varphi(t) \mathrm{d} t \\
+x \cdot \varphi(x)-x \cdot \varphi(x)-x \cdot \varphi(x) \\
=\int_a^x \varphi(t) \mathrm{d} t+\int_{-a}^x \varphi(t) \mathrm{d} t \\
f^{\prime \prime}(x)=\varphi(x)+\varphi(x)=2 \varphi(x)
\end{gathered}
$$
由于 $\varphi(x) > 0$ ,所以 $f^{\prime \prime}(x) > 0$ ,由此可得函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上描述的曲线为凹曲线.


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