设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 内二阶可导,且 $f(0)=f(2)=1, f(1)=3$, 试证: 至少存在一点 $\xi \in(0,2)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=-4$.
【答案】 【分析】 $f^{\prime \prime}(\xi)=-4 \Leftrightarrow f^{\prime \prime}(\xi)+4=\left.0 \Leftrightarrow\left[f^{\prime}(x)+4 x\right]^{\prime}\right|_{x=\xi}=0$, 考虑利用罗尔定理来证明.
$$
\begin{aligned}
&\text { 令 } F(x)=f(x)+2 x^2+c_1 x+c_2, \\
&F(0)=f(0)+c_2=1+c_2, \\
&F(1)=f(1)+2+c_1+c_2=5+c_1+c_2, \\
&F(2)=f(2)+8+2 c_1+c_2=9+2 c_1+c_2 . \\
&\text { 若 } F(0)=F(1)=F(2) \Rightarrow 1+c_2=5+c_1+c_2=9+2 c_1+c_2,
\end{aligned}
$$
可得 $c_1=-4$, 同时取 $c_2=0$.
【证明】令 $F(x)=f(x)+2 x^2-4 x$, 由于
$$
\begin{aligned}
&F(0)=f(0)=1, \\
&F(1)=f(1)+2-4=1, \\
&F(2)=f(2)+8-8=1 .
\end{aligned}
$$
所以 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 和 $[1,2]$ 上均满足罗尔定理的条件, 由罗尔定理得, $\exists \eta_1 \in(0,1)$, 使得 $F^{\prime}\left(\eta_1\right)=0 ; \exists \eta_2 \in(1,2)$, 使得 $F^{\prime}\left(\eta_2\right)=0$.
从而 $F^{\prime}(x)$ 在 $\left[\eta_1, \eta_2\right]$ 上满足罗尔定理的条件, 由罗尔定理得,
$\exists \xi \in\left(\eta_1, \eta_2\right) \subset(0,2)$, 使得 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$, 即 $f^{\prime \prime}(\xi)=-4$.


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