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yan4

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 设

I_{1} = \iint_{D} (x + y) sgn (x + y) d x d y, I_{2} = \iint_{D} (x - y) sgn (x - y) d x d y

, 其中符号函数

sgn x = {\begin{cases} 1, x > 0, \\ 0, x = 0, \\ - 1, x < 0, \end{cases}

区域

D = {(x, y) ∣ - 1 ⩽ x ⩽ 1, - 1 ⩽ y ⩽ 1}

, 则

A.

I_{1} > I_{2}

B.

I_{1} < I_{2}

C.

I_{1} = I_{2}

D.

I_{1} = - I_{2}

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2. 设有向曲线

L

上任一点

(x, y)

处的切向量为

(1, 2 x)

, 则将曲线积分

\int_{L} P d x + Q d y

化为第一类曲线积分的结果为

A.

\int_{L} (P + 2 x Q) d s

;

B.

\int_{L} (2 x P + Q) d s

;

C.

\int_{L} \frac{P + 2 x Q}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d s

;

D.

\int_{L} \frac{2 x P + Q}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d s

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3. 若曲线积分

\int_{L} x^{2} y^{2} d x + a x^{3} y d y

的结果与路径无关, 则

a =

A.

\frac{3}{2}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{1}{3}

D.

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4. 设

Σ

为曲面

z = 2 - (x^{2} + y^{2})

在

x o y

平面上方的部分, 则

I = \iint_{Σ} z d S = \begin{array}{ll}  \end{array}

A.

\int_{1}^{2 π} d θ \int_{0}^{2 - r^{2}} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

B.

\int_{0}^{2} d θ \int_{1}^{2} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

C.

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{- 1}^{\sqrt{2}} (2 - r^{2}) r d r

D.

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

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5. 如图, 正方形

{(x, y) | | x | \leq 1 | y ∣, \leq 1}

被其对角线划分为四个区域

D_{k} (k = 1, 2, 3, 4), I_{k} = \iint_{D_{k}} y \cos x d x d y

, 则

max_{1 \leq k \leq 4} {I_{k}} =

A.

I_{1}

B.

I_{2}

C.

I_{3}

D.

I_{4}

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6. 设区域

D

由曲线

y = \sin x, x = \pm \frac{π}{2}, y = 1

围成, 则

\iint_{D} (x y^{5} - 1) d x d y =

A.

π

B.

2

C.

- 2

D.

- π

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7. 设函数

f (u)

连续, 区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 y}

, 则

\iint_{D} f (x y) d x d y

等于

A.

\int_{- 1}^{1} d x \int_{- \sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x y) d y

B.

2 \int_{0}^{2} d y \int_{0}^{\sqrt{2 y - y^{2}}} f (x y) d x

C.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) d r

D.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) r d r

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D

是闭区域

{(x, y) ∣ a^{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq b^{2}}

, 则

\iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d σ =

A.

\frac{π}{2} (b^{3} - a^{3})

B.

\frac{2 π}{3} (b^{3} - a^{3})

C.

\frac{4 π}{3} (b^{3} - a^{3})

D.

\frac{3 π}{2} (b^{3} - a^{3})

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9. 设

f (t) = \iint_{Σ_{t}} (x + t)^{2} d y d z + (y + t)^{2} d z d x + (z + t)^{2} d x d y

, 其中积分曲面

Σ_{t} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = t^{2}, t > 0

, 取外侧, 则

f^{'} (t) =

A.

B.

8 π t^{3}

C.

16 π t^{3}

D.

32 π t^{3}

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二、填空题（共 12 题），请把答案直接填写在答题纸上

10. 设

L

是直线

y = x

上点

O (0, 0)

到点

A (1, 1)

的一段弧, 则

\int_{L} (x + y) d s =

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11.

\int_{L} e^{x} (1 - 2 \cos y) d x + 2 e^{x} \sin y d y =

(其中

L

是

y = \sin x

上从点

A (π, 0)

到点

O (0, 0)

的一段弧

)

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12. 曲线

{\begin{matrix} y = 4 \\ z = \frac{x^{2} + y^{2}}{4} \end{matrix}

在点

(2, 4, 5)

处的切线方程是

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13. 设闭区域

D

由光滑曲线

L

围成,

D

的面积等于

2, L

是

D

的取正向的边界曲线, 则

\oint_{L} 2 y d x - 3 x d y =

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14. 曲线

x y = 1

在点

(- 1, - 1)

处的曲率圆方程为

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15. 曲线

y = \ln \cos x (0 \leq x \leq \frac{π}{6})

的弧长为

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16. 经过

(4, 0, - 2)

和

(5, 1, 7)

且平行于

x

轴的平面方程为

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17. 设

Σ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

的外侧，

\cos α, \cos β, \cos γ

是其外法向量的方向余弦，则

\iint_{Σ} \frac{x \cos α + y \cos β + z \cos γ}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} d S =

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18. 设函数

f (x, y)

可微,

f (x, y)

在点

P_{0} (1, 1)

处指向点

P_{1} (- 7, 16)

的方向导数等于

\frac{13}{17}

,指向点

P_{2} (6, - 11)

的方向导数等于

- \frac{16}{13}

, 则

f (x, y)

在点

P_{0} (1, 1)

处的最大方向导数为

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19. 设函数

f (u)

在曲面

Σ : z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} (z \geq 0)

上连续, 则曲面积分

I = \iint_{Σ} [x y \sqrt{x^{4} + y^{4} + 1} +

z f (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1)] d S =

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20. 设

a, b, c, μ > 0

，曲面

x y z = μ

与曲面

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

相切，则

μ =

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21. 设

z = x^{y} + y^{x}

, 则函数在

(1, 1)

处的全微分为

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三、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

22. 计算第二型曲面积分

I = \iint_{S} \frac{x d y d z + z^{4} d x d y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} .

其中

S

是圆柱面

x^{2} + y^{2} = 1

和平面

z = - 1, z = 1

所围成的立体的表面外侧.

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23. 设空间曲线

Γ

为圆周

{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, \\ y + z = 0, \end{cases}

上从点

(- 1, 0, 0)

经过点

(0

- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

到点

(1, 0, 0)

的有向曲线段. (1) 若

P = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x

y, z

) 为

Γ

上的连续函数, 将

\int_{Γ} P d x + Q d y + R d z

转化为对弧长的曲线积分; (2) 利用 (1) 中的结论, 计算

I = \int_{Γ} z d x + (x + \cos x) d y + e^{y^{2}} d z

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24. 设函数

f (u)

在

(0, + \infty

) 内可导,

z = x f (\frac{y}{x}) + y

满足关系式

x \frac{\partial z}{\partial x} -

y \frac{\partial z}{\partial y} = 2 z

, 且

f (1) = 1

, 求曲线

y = f (x)

的渐近线.

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25. 计算

\int_{L} x y^{2} d y - x^{2} y d x

, 其中

L

为圆周

x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)

, 逆时针方向.

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26. 计算曲线积分

\prod_{L} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d s

, 其中

L : {\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{9}{2}, \\ x + z = 1 . \end{matrix}

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27. 求曲线积分:

\int_{L} [{(x^{2} + y^{2})}^{2} + y^{2}] d s

，其中

L : x^{2} + y^{2} = x

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28. 求曲面积分:

\iint_{S} x z d y d z - x^{2} y d z d x + y^{2} z d x d y

，其中

S

由

z = x^{2} + y^{2}

，柱面

x^{2} + y^{2} = 1

以及三个坐标面在第一卦限所围曲面外侧.

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29. 计算积分

I = ∭_{x^{2} + y^{2} \leq x + y} (x + y) d x d y

。解: 极坐标: 令

x = r \cos θ, y = r \sin θ

, 则

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30. 已知曲线积分

\int_{L} [2 e^{x} - f (x)] y^{2} d x + 2 y f (x) d y

与路径无关, 其中

f (x)

具有连续的导数, 且

f (0) = 1

, 求

f (x)

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31. 设抛物线

y = a x^{2} + b x + c

过原点, 当

0 \leq x \leq 1

时,

y \geq 0

, 又该抛物线与直线

x = 1

及

x

轴围成平面图形的面积为

\frac{1}{3}

, 求

a, b, c

使该图形绕

x

轴旋转一周而成的旋转体体积

V

最小

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32. 求曲线积分

\int_{L} (x + y) d x + (x - y) d y

, 其中

L

沿

x^{2} + y^{2} = a^{2} (x \geq 0, y \geq 0)

, 逆时针方向。

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33. 计算

\iint_{D} y^{5} \sqrt{1 + x^{2} - y^{6}} d x d y

, 其中

D

是由

y = \sqrt[3]{x}, x = - 1

及

y = 1

所围成的区域。

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34. 设函数

f (x)

和

g (x)

有连续导数, 且

f (0) = 1, g (0) = 0, L

为平面上任意简单光滑闭曲线, 取逆时针方向,

L

围成的平面区域为

D

, 已知

\oint_{L} x y d x + [y f (x) + g (x)] d y = \iint_{D} y g (x) d σ,

求

f (x)

和

g (x)

。

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35. 设

f (x)

一阶连续可导，

R (x, y, z) = \int_{0}^{x^{2} + y^{2}} f (z - t) d t

曲面

Σ

为抛物面

z = x^{2} + y^{2}

被平面

y + z = 1

所截的下面部分的内侧，

L

为

Σ

的正向边界，求

\begin{aligned} I = \oint_{L} 2 x z f (z - x^{2} - y^{2}) d x \\ + [x^{3} + 2 y z f (z - x^{2} - y^{2})] d y + R (x, y, z) d z . \end{aligned}

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36. 设空间曲线

L : {\begin{cases} z = x^{2} + 2 y^{2}, \\ z = 6 - 2 x^{2} - y^{2}, \end{cases}

从

z

轴正向往负向看为逆时针方向, 计算曲线积分

I = \oint_{L} (z^{2} - y) d x + (x^{2} - z) d y + (x - y^{2}) d z

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37. 多元设平面区域为

D : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

, 若表达式为

x y {[\iint_{D} f (x, y) d x d y]}^{2} = f (x, y) - 1

且

I (t) = \int_{t}^{1} f (x, t) d x

, 试求

\int_{0}^{1} I (t) d t

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38. 求曲线

y = e^{x}

在

x \in [1, 2]

上的弧长.

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39. 计算三重积分

∭_{Ω} \frac{x y z}{x^{2} + y^{2}} d x d y d z

，其中

Ω

是由曲面

{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} = 2 x y

围成的区域在第一卦限部分.

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40. 已知曲线型构件

L : {\begin{cases} z = x^{2} + y^{2}, \\ x + y + z = 1 \end{cases}

的线密度为

ρ = | x^{2} + x - y^{2} - y |

, 求

L

的质量.

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