2023年武汉理工大学数学分析考研真题及参考解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求曲线积分: $\int_L\left[\left(x^2+y^2\right)^2+y^2\right] \mathrm{d} s$ ，其中
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L: x^2+y^2=x
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我来讲解

答案：

由题意可知: $L:\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}$ ，并作参数代换 $x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos t, y=\frac{1}{2} \sin t$. 所以
$$
\begin{aligned}
& \int_L\left[\left(x^2+y^2\right)^2+y^2\right] \mathrm{d} s=\int_L\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s=\int_L x \mathrm{~d} s \\
& =\int_0^{2 \pi}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos t\right) \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} t=\frac{1}{4} \int_0^{2 \pi}(1+\cos t) \mathrm{d} t=\frac{\pi}{2}
\end{aligned}
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