2021高等数学《微积分》摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知曲线积分 $\int_L\left[2 \mathrm{e}^x-f(x)\right] y^2 \mathrm{~d} x+2 y f(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有连续的导数, 且 $f(0)=1$, 求 $f(x)$.

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答案：

解依题意
$$\frac{\partial\left\{\left[2 \mathrm{e}^x-f(x)\right] y^2\right\}}{\partial y}=\frac{\partial[2 y f(x)]}{\partial x}
$$

即 $\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\mathbf{2 e}^{\boldsymbol{x}}$

通解为
$\begin{aligned} f(x) & =\mathrm{e}^{-\int \mathrm{d} x}\left(\int 2 \mathrm{e}^x \mathrm{e}^{\int \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x+C\right) \\
= & \mathrm{e}^{-x}\left(\int 2 \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x+C\right)=\mathrm{e}^{-x}\left(\mathrm{e}^{2 x}+C\right) \end{aligned}$
由 $\boldsymbol{f}(\mathbf{0})=\mathbf{1}$ 得 $\boldsymbol{C}=\mathbf{0}$
所以 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\mathrm{e}^{\boldsymbol{x}}$

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