题号:
5672
题型:
填空题
来源:
2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析（数一）
设函数 $f(x, y)$ 可微, $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,1)$ 处指向点 $P_1(-7,16)$ 的方向导数等于 $\frac{13}{17}$,指向点 $P_2(6,-11)$ 的方向导数等于 $-\frac{16}{13}$, 则 $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,1)$ 处的最大方向导数为
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解析：
令 $\boldsymbol{l}_1=\overrightarrow{P_0 P_1}=(-8,15), \boldsymbol{l}_2=\vec{P}_0 P_2=(5,-12)$, 则 $\boldsymbol{l}_1$ 的方向余弦为 $\cos \alpha_1=-\frac{8}{17}$,
$\cos \beta_1=\frac{15}{17} ; l_2$ 的方向余弦为 $\cos \alpha_2=\frac{5}{13}, \cos \beta_2=-\frac{12}{13}$. 据题意,
$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial f}{\partial l_1}\right|_{(1,1)} & =\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)} \cos \alpha_1+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)} \cos \beta_1 \\
& =-\left.\frac{8}{17} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)}+\left.\frac{15}{17} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)}=\frac{13}{17}, \\
\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}_2}\right|_{(1,1)} & =\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)} \cos \alpha_2+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)} \cos \beta_2 \\
& =\left.\frac{5}{13} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)}-\left.\frac{12}{13} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)}=-\frac{16}{13} .
\end{aligned}
$$
由以上两式解得 $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)}=4,\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)}=3$. 于是, $\operatorname{grad} f(1,1)=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)} i+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)} j=4 \boldsymbol{i}+3 \boldsymbol{j}$. 故函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,1)$ 处的最大方向导数为 $|\operatorname{grad} f(1,1)|=5$.
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