设函数 $f(u)$ 在 $\left(0,+\infty\right.$ ) 内可导, $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)+y$ 满足关系式 $x \frac{\partial z}{\partial x}-$ $y \frac{\partial z}{\partial y}=2 z$, 且 $f(1)=1$, 求曲线 $y=f(x)$ 的渐近线.
【答案】 令 $u=\frac{y}{x}$, 则 $z=x f(u)+y, \frac{\partial z}{\partial x}=f(u)-\frac{y}{x} f^{\prime}(u), \frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime}(u)+1$, 代人 $x \frac{\partial z}{\partial x}-$ $y \frac{\partial z}{\partial y}=2 z$ 可得 $x f(u)-2 y f^{\prime}(u)-y=2 x f(u)+2 y$, 整理后得 $f^{\prime}(u)+\frac{1}{2 u} f(u)=-\frac{3}{2}$, 其通解为 $f(u)=-u+\frac{C}{\sqrt{u}}$. 由 $f(1)=1$ 可得 $C=2$, 所以 $f(u)=-u+\frac{2}{\sqrt{u}}$. 因为 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(-x+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)=\infty$, 所以 $x=0$ 为曲线 $y=f(x)$ 的铅直渐近线. 又因为$\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(-x)]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2}{\sqrt{x}}=0$, 所以 $y=-x$ 为曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线.

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