一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $D_k$ 是区域 $D=\{(x, y)|| x|+| y \mid \leqslant \mathrm{e}\}$ 在第 $k$ 象限的部分, 记 $I_k=\iint_{D_k} \ln \frac{3+y}{3+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$,则 $\max _{1 \leqslant k \leqslant 4}\left\{I_k\right\}=$
$\text{A.}$ $I_1$.
$\text{B.}$ $I_2$.
$\text{C.}$ $I_3$.
$\text{D.}$ $I_4$.
设 $M=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1}(x+y)^3 \mathrm{~d} \sigma, N=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} \cos x^2 \sin y^2 \mathrm{~d} \sigma, P=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}\left(\mathrm{e}^{-x^2-y^2}-1\right) \mathrm{d} \sigma$, 则必有
$\text{A.}$ $M>N>P$.
$\text{B.}$ $N>M>P$.
$\text{C.}$ $M>P>N$.
$\text{D.}$ $N>P>M$.
设 $L_1, L_2, L_3$ 依次表示三条曲线 $y=\mathrm{e}^x-1, y=x, y=\ln (1+x)$ 介于区间 $[0,1]$ 上的曲弧段, $I_i=\int_{L_i} y^2 \mathrm{~d} s$, 则三者的大小关系为
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
曲面 $x^2-4 y^2+2 z^2=6$ 上点 $(2,2,3)$ 处的法线方程为
$\text{A.}$ $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{3}$
设 $D$ 是矩形域: $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4},-1 \leqslant y \leqslant 1$,则 $\iint_D x \cos (2 x y) d \sigma=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
设 $L$ 是以 $A(-1,0), B(-3,2)$ 及 $C(3,0)$ 为顶点的三角形域的围界沿 $A B C A$ 方向, 则 $\oint_L(3 x-y) d x+(x-2 y) d y=$.
$\text{A.}$ -8
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 20
设点 $O, A, B$ 的坐标分别为 $(0,0),(1,0),(0,1)$, 点 $C$ 为区域 $D=\{(x, y) \mid 0 < x < 1, y>0\}$ 内一点, 则下列区域中, 四边形 $A O B C$ 的形心不可能在其中出现的是
$\text{A.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{B.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 1 < y < 2\right\}$.
$\text{C.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{D.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{2}{3} < x < 1\right.,0 < y < 1\right\}$.
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设曲面 $\Sigma$ 是平面 $y+z=5$ 被柱面 $x^2+y^2=25$ 所截得的部分, 则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{dS}=$
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^2}, 0 \leq y \leq 2\right\}$, 计算 $I=\iint_D \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} d x d y$.
已知 $\Sigma$ 为曲面 $4 x^2+y^2+z^2=1(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ 的上侧, $L$ 是 $\Sigma$ 的边界曲线, 其正向与与 $\Sigma$ 的正法向量满足右手法则, 计算积分曲线
设 $r=(x, y, z), r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 函数 $f(x)$ 可微, 曲线 $L$ 是一条有限的、不经过坐标原点的单侧光滑曲面 $S$ 的边界曲线, $L$ 的正向与曲面 $S$ 的正向符合右手法则, 则 $\oint_{\text {L. }} \frac{x}{r} f(r) \mathrm{d} x+\frac{y}{r} f(r) \mathrm{d} y+\frac{z}{r} f(r) \mathrm{d} z=$
设 $y^{\prime}=f(x, y)$ 是一条简单封闭曲线 $L$ (取正向), $f(x, y) \neq 0$, 其所围区域记为 $D, D$ 的面积为 $a, a>0$, 则 $I=\oint_L x f(x, y) \mathrm{d} x-\frac{y}{f(x, y)} \mathrm{d} y=$
由曲线 $x y=3, x+y=4$ 围成的平面区域绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体体积为
设曲线积分 $\int_L f^{\prime}(x) \mathrm{d} y-4 y f(x) \mathrm{d} x$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 并且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)-1$ 存在, 则 $f(x)=$
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为
已知 $D: x^2+y^2 \leqslant 1, y \geqslant 0$, 则 $\iint_D\left(x^3 \cos y+y\right) d x d y=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{4}=1 \\ y=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转而成的旋转曲面方程为
三、解答题 （ 共 23 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算曲线积分 $I=\oint_L\left[\frac{4 x-y}{4 x^2+y^2}-\frac{y}{(x-1)^2+y^2}\right] \mathrm{d} x+\left[\frac{x+y}{4 x^2+y^2}+\frac{x-1}{(x-1)^2+y^2}\right] \mathrm{d} y$, 其中 $L$是 $x^2+y^2=4$ 的边界曲线, 方向为逆时针.
设$ a_n=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-n^2 x^2} \mathrm{~d} x, n=1,2, $求 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n a_{n+2} \text {. }
$
设 $k>0, y=k x^2$ 与 $y=\sin x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 在 $x=t$ 处相交, 记 $S_1$ 为 $y=k x^2$ 与 $y=\sin x$ 围成的面积; $S_2$ 为 $y=\sin x, y=\sin t$ 与 $x=\frac{\pi}{2}$ 围成的面积. 试证: $S(t)=S_1+S_2$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内必有最小值.
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 通过点 $(0,0)$ 和 $(1,2)$, 且 $a < 0$, 试确定 $a, b, c$ 的值使该拖物线与 $x$轴所围图形 $D$ 的面积最小,并求此图形 $D$ 绕直线 $x=2$ 旋转一周所得旋转体的体积.
计算线积分 $I=\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$, 其中 $L$ 为由点 $A(-1,0)$ 经点 $B(1,0)$ 到点 $C(-1,2)$ 的路径, $\overparen{A B}$ 为下半圆周, $\overline{B C}$ 为直线.
求积分 $\iiint_{2 x^2+y^2 \leq z \leq x^2+4 x+y}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 的值.
设曲面 $\Sigma$ 由直线段 $L:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}(t-1), \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}(t+1), \\ z=t\end{array},(0 \leqslant t \leqslant 1)\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到, 空间区域 $\Omega$ 由 $\Sigma$ 与平面 $z=0, z=1$ 所围成, 求 $\Omega$ 的形心.
求三重积分 $I=\iiint_{\Omega} z \cdot \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 及平面 $z=0, z=a,(a>0)$ 和 $y=0$ 所围成的区域.
求曲线积分
$I=\int_C x \ln \left(x^2+y^2-1\right) \mathrm{d} x+y \ln \left(x^2+y^2-1\right) \mathrm{d} y .$
其中 $C$ 是被积函数定义域内从 $(2,0)$ 到 $(0,2)$ 的逐段光滑曲线.
如图, 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内求一点 $x$, 使得阴影部分面积最小, 并求出该最小值.
计算曲线积分: $I=\oint_L y^2 \mathrm{~d} x+z^2 \mathrm{~d} y+x^2 \mathrm{~d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与柱面 $x^2+y^2=a x$ 的交线，从 $z$ 轴正向看过去为逆时针方向，其中 $z \geq 0, a>0$.
设在区间 $[n \pi,(n+1) \pi]$ 上由曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sin x$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $S_n(n=0$, $1,2, \cdots)$, 求级数 $I=\sum_{n=0}^{\infty} n(n+1) S_n$ 的值.
设曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=a$ 过点 $(1,1)$.
(I) 求该曲线在点 $(1,1)$ 处的切线方程;
(II) 求该曲线的弧长 $s$.
设 $L$ 为 $y O z$ 面上的一条曲线,其方程为 $z=\sqrt{4 y-y^2-3}$, 记 $L$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得曲面为 $\Sigma$.
(I) 求 $\Sigma$ 的方程;
(II) 计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+\sin x z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y^2+3 \cos x y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+3 z(1+x \sin x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 在 $A\left(1, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ 点的切线交 $y$ 轴于 $B$ 点，设 $L$ 为从 $A$ 到 $B$ 的直线段，试计算曲线积分:
$I=\int_L\left(\frac{\sin y}{x+1}-\sqrt{3} y\right) \mathrm{d} x+[\cos y \cdot \ln (x+1)+2 \sqrt{3} x-\sqrt{3}] \mathrm{d} y$
过抛物线 $y=x^2$ 上的一点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 作切线, $\left(0 \leq x_0 \leq 1\right)$, 问 $M_0$ 取在何处时,该切线与直线 $x=1$ 和 $x$ 轴所围成的三角形面积最大? 并求最大值.
设 $F(x, y)=x y+\frac{1}{2} y^2$, 曲线 $c$ 的方程为 $3\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2=4$, 点 $P$ 为 $c$ 上任一点, 以 $P(x, y), O(0,0), Q(x, 0)$ 三点为顶点的三角形面积记作 $S$, 求面积的最大值.
设 $\varphi(t)$ 具有连续导数, $\varphi(0)=0$. 在全平面内曲线积分
$$
I=\int_L(y-2 x \varphi(x y)) \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} x+(x-2 y \varphi(x y)) \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} y
$$
与路径无关.
( I ) 求 $\varphi(t)$;
(II) 设 $L$ 为从 $O(0,0)$ 到 $A(a, a)$ 的一条分段光滑曲线, 计算 $I(a)$;
(III) 求 $I(a)$ 的最值.
$I=\oint_L x d y-2 y d x$, 其中 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=2$ 在第一象限中的部分.
求椎面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2 x$ 所割下部分的曲面面积.
设 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧, 求$I=\oint_{\Sigma} x^3 d y d z+y^3 d z d x+z^3 d x d y$
求曲面 $\left\{\begin{array}{l}2 z=x^2+y^2 \\ z=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}\right.$ 所围区域的体积.
求第二型曲线积分 $\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{2 x^2+y^2}$, 其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=1$, 方向为逆时针.