一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
椭圆抛物面 $z=x^2+\frac{1}{4} y^2+3$ 到平面 $2 x-y+z=0$ 最近的点是?
$\text{A.}$ $(-1,2,5)$
$\text{B.}$ $(1,2,5)$
$\text{C.}$ $(1,-2,5)$
$\text{D.}$ $(-1,2,-5)$
函数 $z=x e^{2 y}$ 在点 $P(1,0)$ 处沿从 $P(1,0)$ 到 $Q(2,-1)$ 的方向导数是?
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
过点 $(p, \sin p)$ 作曲线 $y=\sin x$ 的切线, 该曲线 (对应于 $0 \leqslant x \leqslant p$ 的部分) 与切线及 $y$ 轨所闹成平面图形的面积为 $S_1$, 与直线 $x=p$ 及 $x$ 轴所围成平面图形的面积为 $S_2$, 则 $\lim _{p-0} \frac{S_2}{S_1+S_2}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ 1
设 $\vec{T}^{\circ}=(\cos \alpha, \cos \beta)$ 是简单封闭曲线 $L$ 上点 $(x, y)$ 处指向逆时钟方向的单位切向量，则该点处指向曲线外侧的单位法向量 $\vec{n}^{\circ}=$
$\text{A.}$ $(-\cos \alpha,-\cos \beta)$
$\text{B.}$ $(\cos \beta, \cos \alpha)$
$\text{C.}$ $(\cos \beta,-\cos \alpha)$
$\text{D.}$ $(-\cos \beta, \cos \alpha)$
向量场 $\vec{u}(x, y, z)=x y^2 \vec{i}+y e^z \vec{j}+x \vec{k}$ 在点 $P(1,1,0)$ 处的旋度为
$\text{A.}$ $(1,1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,-1,-2)$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $-2$
已知向量场 $\mathrm{F}(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))$ ，如题图所示， $L$ 为圆周 $x^2+y^2=1$ ，且取逆时针方向，则曲线积分
$\oint_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y>0$ 所对应的向量场是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
下列正向闭曲线中, 使曲线积分 $\oint_I \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^2+x y+y^2}=0$ 的曲线是
$\text{A.}$ $L: x^2+y^2=1$
$\text{B.}$ $L: x^2+x y+y^2=1$
$\text{C.}$ $L:(x-1)^2+(y-1)^2=1$
$\text{D.}$ $L: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成有界区域的面积为
已知曲线 $L: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$, 则 $\oint_L\left(x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{4}{3}}+2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}\right) \mathrm{d} s=$
曲线积分 $\oint_L\left(x-y^2\right) d s=$ ? 其中 $L$ 是圆周 $x^2+y^2=1$
求曲线段 $y=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}(0 \leq x \leq 3)$ 的弧长
设曲线 $L: x^2+y^2=16$ ， 取逆时针方向，则
$$
\oint_L \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^2+x y+y^2}=
$$
已知 $f(x, y)=x y+x^2 y \iint_D x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: y=x, y=0, x=1$ 所围成区域, 则
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=
$$
设 $L: y=\frac{x^2}{2}(0 \leq x \leq 1)$ ，则曲线积分 $\int_L x \mathrm{~d} s$ 值为
设曲线 $C: x^2+y^2-2 x+4 y+1=0$ ，则曲线积分 $\int_C(x+y) \mathrm{d} s=$
在力场 $\vec{F}=(-y, x)$ 的作用下，质点在以 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 为顶点的三角形上沿顺时针方向运动一周，则在该过程中力场对质点所做的功是
曲线积分 $\oint_L\left(x-\frac{y}{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x+\left(y+\frac{x}{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} y=$ $\qquad$其中 $L: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 为逆时针方向.
已知曲面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$ ，则 $\oint_{\Sigma}(x+z)^2 \mathrm{~d} S$的值为
计算 $\int_L(x+y) d s$, 其中 $L: x^2+y^2=2 x$ 。
计算 $\iiint_{\Omega}(x+y+z) d x d y d z$, 其中 $\Omega:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \leq 1$ 。
三、解答题 （ 共 20 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求曲面 $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi, z=r \cot \alpha$ 在点 $M_0\left(r_0, \varphi_0\right)$ 处的切平面方程和法线，其中 $\alpha$ 为某常数.
计算曲面积分， $I=\iint_{\Sigma}(x+y+z) d S$ ，其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}(a>0)$
计算第二类曲线积分， $I=\int_L e^x \sin y d x+e^x \cos y d y$ ，其中 $L$ 从 $O(0,0)$ 沿摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 到 $A(\pi a, 2 a)(a>0)$
设函数 $y(x)$ 可导, 且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=2$. 若在区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积等于该区间上曲线弧长的 2 倍.
(I) 证明 $y^{\prime \prime}(x)-\frac{1}{4} y(x)=0$ ；
(II) 求 $y(x)$.
设 $F(x, y)=x y+\frac{1}{2} y^2$, 曲线 $c$ 的方程为 $3\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2=4$, 点 $P$ 为 $c$ 上任一点, 以 $P(x, y), O(0,0), Q(x, 0)$ 三点为顶点的三角形面积记作 $S$, 求面积的最大值.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\ x^2+y^2=1\end{array}\right.$ 在 $y o z$ 面上的投影曲线方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+z^2=1, \\ x+2 y=1,\end{array}\right.$ 上到坐标原点距离最近的点.
设 $y^2 \mathrm{~d} x+(2 x y+1) \mathrm{d} y$ 是函数 $f(x, y)$ 的全微分, 其中 $f(0,0)=0$, 求 $f(x, y)$, 并计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} z f(x, y) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma$ 是椎面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+(y-1)^2=1$ 所截下的有限部分.
已知 $f(u, v)=\oint_C\left(u x^2+v y^2\right) \mathrm{d} s$ ，其中曲线 $C: x^2$ $+y^2=u^2$ ，试求 $f_{u v}^{\prime \prime}(1,1)$ 的值.
问: 当常数 $a$ 为何值时, 存在可微函数 $u=u(x, y)$, 使得 $\mathrm{d} u=(x-2 y+1) \mathrm{d} x+\left(a x+y^2+3\right) \mathrm{d} y$ ? 若 $u(0,0)=0$,求函数 $u(x, y)$ 的表达式.
设 $f(x)$ 为正值连续函数，证明不等式:
$$
I=\oint_C x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geq 2 \pi a^2,
$$
其中 $C$ 是 $(x-a)^2+(y-a)^2=a^2(a>0)$ ，方向取逆时钟方向.
设三元函数 $f(x, y, z)$ 连续， $f(x, y, z) \neq 0$ 且满足 $f(x, y, z) \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\left(x^2+y^2+z^2\right) \oint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$,其中 $\Omega$ 为球面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=1$ 所围成的闭区域，求 $f(x, y, z)$ 的表达式.
已知 $C$ 为不经过原点的简单光滑闭曲线，且取逆时针方向. 计算曲线积分 $\oint_C \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{a x^2+b y^2}$ ，其中 $a, b$ 为大于零的常数.
设函数 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续导数， $L$ 为从点 $A\left(-\frac{\pi}{2},-1\right)$ 沿曲线 $y=\sin x$ 到点 $B\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ ，再沿直线 $y=1$ 到点 $C\left(-\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的有向曲线段，计算曲线积分
$$
\int_L x f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x+x^2 \mathrm{~d} y .
$$
设有一边长为 1 的立方体，其一个顶点位于坐标原点，三条棱与坐标轴正方向重合，平面 $x+2 y+3 z=4$ 截立方体所得截面的边界线记作 $\Gamma$ ，计算
$$
I=\oint_{\Gamma}(x-y) \mathrm{d} x+(y-2 z) \mathrm{d} y+(z-3 x) \mathrm{d} z ，
$$
其中 $\Gamma$ 方向为从 $z$ 轴正向往负向看为逆时针方向.
设 $S$ 为旋转抛物面 $z=4-x^2-y^2 ， \pi$ 为其在 $M(1,1,2)$ 处的切平面.
(1) 求 $S$ 在 $z \geq 0$ 部分的曲面面积.
(2) 求第一卦限介于 $S$ 与 $\pi$ 之间部分的体积.
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=1$.假设对任意光滑闭曲面 $\boldsymbol{\Sigma}$ ，恒有
$$
\oint_{\Sigma}\left[f^{\prime}(x)+x^2\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z+1) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
试求 $f(x)$ 的表达式.
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \text {, }
$$
曲面，它的法向量与 $y$ 轴正向的夹角恒大于 $\frac{\pi}{2}$.
设过点 $(-1, c, c)$ 的直线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}c x+y+z=c \text {, } \\ x-c y+c z=-1,\end{array}\right.$ 其中 $c$ 为实数。
（1）求直线 $L$ 的对称式方程;
（2）当 $c$ 连续变化时， $L$ 随之移动而生成曲面 $\Sigma$, 求曲面 $\Sigma$ 与平面 $z=t$ 的交线的方程, 其中 $t$ 为常数;
（3）求由曲面 $\Sigma$, 平面 $z=0$ 和 $z=1$ 所围立体的体积。
求 $\int_{\mathrm{L}}(2 x \sin y+y) d x+\left(x^2 \cos y+2 x\right) d y$, 其中 $L: x^2+y^2=2 a x(a>0)$从 $(0,0)$ 到 $(2 a, 0)$ 的上半圆周。