设过点 $(-1, c, c)$ 的直线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}c x+y+z=c \text {, } \\ x-c y+c z=-1,\end{array}\right.$ 其中 $c$ 为实数。
（1）求直线 $L$ 的对称式方程;
（2）当 $c$ 连续变化时， $L$ 随之移动而生成曲面 $\Sigma$, 求曲面 $\Sigma$ 与平面 $z=t$ 的交线的方程, 其中 $t$ 为常数;
（3）求由曲面 $\Sigma$, 平面 $z=0$ 和 $z=1$ 所围立体的体积。