设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 内二阶可导, $f^{\prime \prime}(x) < 0$, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(1)=0$, 又设 曲线 $y=f(x)$ 上任一点 $(x, y)$ 处的曲率半径恒等于 1 .
(1) 求函数 $f(x)$;
(2) 计算 $\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 是由直线 $x=0, x=2, y=2$ 及曲线 $y=f(x)$ 围成的平面区域.