设三次曲线 $y=a x^3+b x^2+c x+d(a < 0)$ 以原点为极小值点, 并且过点 $(1,1)$, 试从这些曲线 中确定一条三次曲线, 使其极大值最小.
【答案】 因为曲线过原点, 所以 $d=0$. 又曲线过点 $(1,1)$, 所以 $a+b+c=1$. 又 $y^{\prime}=3 a x^2+2 b x+c$, 由于原点为极小值点, 所以 $y^{\prime}(0)=0 \Rightarrow c=0$.
于是 $a+b=1 \Rightarrow b=1-a$, 从而
$$
y^{\prime}=3 a x^2+2(1-a) x=3 a x\left(x-\frac{2(a-1)}{3 a}\right) \text {, }
$$
驻点为 $x=0, x=\frac{2(a-1)}{3 a}$,
由于 $x=0$ 是极小值点, 所以 $x=\frac{2(a-1)}{3 a}$ 是极大值点, 极大值为
$$
V(a)=a \cdot\left(\frac{2(a-1)}{3 a}\right)^3+(1-a)\left(\frac{2(a-1)}{3 a}\right)^2=\frac{4(1-a)^3}{27 a^2}
$$


$V^{\prime} \cdot(a)=\frac{4}{27} \cdot \frac{-(a-1)^2(a+2)}{a^3}$, 驻点是 $a=1, a=-2$, 由于 $a < 0$, 故 $a=1$ 舍去. 可判断 $a=-2$ 是 $V(a)$ 的极小值点, 又是唯一驻点, 所以 $a=-2$ 是 $V(a)$ 的最小值点. 从而 $a=-2, b=3, c=d=0$, 所求三次曲线为 $y=-2 x^3+3 x^2$.


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