填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $z=x f\left(x y+\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 二阶可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $f_y^{\prime}(1,2)=1$ ，则 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(1,2+y)-f(1,2-y)}{y}=$
设 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设 $z=\arctan \left(x y^2\right)$ ，则 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(0,1)}=$
设 $z=\ln (\sqrt{x}+\sqrt{y})$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
设 $z=x \ln (x y)$ ，则 $\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2}=$
设函数 $z=x^{y+1}(x>0, x \neq 1)$ ，则 $d z=$
设 $z=\frac{1}{x} f(x y)+y \varphi(x+y), f, \varphi$ 具有二阶连续导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设 $z=x^y$ ，则二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设 $z=e^{x y}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial y}=$
已知 $f(x, y)=\left(x y+x y^2\right) \mathrm{e}^{x+y}$ ，则 $\frac{\partial^{10} f}{\partial x^5 \partial y^5}=$
设 $z=\left(x+\mathrm{e}^y\right)^x$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f(x y, x+y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $f(x, y)=x^2+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{y}{x}}$ ，求 $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(2,1)}$ ．
设 $x^2+y^2+z^2-4 z=0$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
设 $z=f\left(x+y, \frac{x}{y}\right)$ ，且 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2-2 z=f\left(y^2-2 z\right)$ 所确定的隐函数，其中 $f$ 可微，求证 $y \frac{\partial z}{\partial x}+x \frac{\partial z}{\partial y}=x y$ 。
设函数 $f(x, y)=e^y \sin \pi y+(x-1) \arctan \sqrt{\frac{y}{x}}$ 在 $(1,1)$ 处的偏导数．
设 $f(x, y)=x y+x^2+y^3$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ ，并求 $f_x{ }^{\prime}(0,1), f_y{ }^{\prime}(2,0)$ ．
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+\sin y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+\sin y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $z=f\left(3 x-2 y, x y^2\right), f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $z=f(2 x-y, y \sin x)$ ，其中 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $z=\arctan \frac{x}{y}$ ，求 $d z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+x=e^{z-y}$ 所确定，求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及全微分 $d z$
设函数 $f(x, y)$ 有连续的二阶偏导数，
$$
z=f\left(x_0+t\left(x_1-x_0\right), y_0+t\left(y_1-y_0\right)\right),
$$
求 $\frac{d^2 y}{d t^2}$ ．
设 $f(u)$ 具有二阶连续导数，且 $g(x, y)=f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{x}{y}\right)$ ，求 $x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}-y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ．
设 $z=f(x+\varphi(x-y), y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$\varphi$ 有二阶导数，求 $d z$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$