单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ 在点 $(0,0)$ 处 $\qquad$
$\text{A.}$ 偏导数不存在
$\text{B.}$ 偏导数存在，但不可微
$\text{C.}$ 可微但偏导数不连续
$\text{D.}$ 偏导数连续
下列函数中，连续但不可微的是
$\text{A.}$ $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin (x y)}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & x=y=0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $z=\sin \left(x^2+y^2\right)$
$\text{C.}$ $f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & x=y=0 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $z=(1+x y) e^{x y}$ ．
设 $z=\frac{y}{x} f(x y)$ ，其中函数 $f(u)$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\left[\begin{array}{ll} & ]\end{array}\right.$
$\text{A.}$ $2 y f^{\prime}(x y)$ ．
$\text{B.}$ $-2 y f^{\prime}(x y)$ ．
$\text{C.}$ $\frac{2}{x} f(x y)$ ．
$\text{D.}$ $-\frac{2}{x} f(x y)$ ．
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^2}$ 为某函数的全微分，则 $a$ 等于
$\text{A.}$ -1 ．
$\text{B.}$ 0 ．
$\text{C.}$ 1 ．
$\text{D.}$ 2 ．
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x, y, z)=\sqrt[z]{\frac{x}{y}}$ ，则 $d f(1,1,1)=$
设 $u=x^y y^z z^x$ ，求 $d u$ ．
设 $z=x^y$ ，则 $\left.d z\right|_{\substack{x=e \\ y=1}}=$
已知 $\frac{\partial f}{\partial x}=2 x y-y^4+3, \frac{\partial f}{\partial y}=x^2-4 x y^3$ ，求函数 $f(x, y)$ ．
设 $z=f\left( e ^x \sin y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 有二阶连续偏导数，求 d 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{1-\cos \left(x^2 y\right)}{2 \sin \left(x^4 y^3\right)}=$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right), f$ 具有一阶连续偏导数，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
函数 $\ln \left(x^2+y^2\right)$ 的全微分是
设 $z=f\left(\ln x+\frac{1}{y}\right)$ ，其中函数 $f(u)$ 可微，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y^2 \frac{\partial z}{\partial y}=$
解答题 （共 24 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $u=y f\left(\frac{y}{x}\right)+x g\left(\frac{x}{y}\right)$, 其中 $f, g$ 具有二阶连续偏导数, 求 $x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$
设 $z=f(x+y, x y)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $d z$
设 $z=z(x, y)$ 满足方程 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=(y-x) z$, 作变换
$$
u=x^2+y^2, v=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}, w=x+y-\ln z(x>0, y>0, z>0),
$$
已知 $w=w(u, v)$, 求原方程经过变换后化为 $u, v, w$ 所满足的微分方程.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^2}{x^2+y^4}, x^2+y^4 \neq 0 \\ 0, \quad x^2+y^4=0 .\end{array}\right.$ ，判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的连续性
由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(1,0,-1)$ 处的全微分 $d z$ $=$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$g$ 具有二阶连续导数，求
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}
$$
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 确定，求在点 $P(1,0,-1)$ 处的全微分 $d z$ ．
设 $f(x, y)=|x-y| \phi(x, y)$ ，其中 $\phi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的邻域内连续，问
（1）$\phi(x, y)$ 应满足什么条件才能使 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$ 都存在？
（2）在上述条件下 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否可微？
设 $f_x\left(x_0, y_0\right)$ 存在，$f_y(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，证明 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微．
已知 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=1$ ，且当 $x=0$ 时，$z=\sin y$ ；当 $y=0$ 时，$z=\sin x$ ，则 $z(x, y)=$
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $F(z-x, z-y)=0$ 确定，求 $d z$ ．
设 $u=f(x, y, z), \phi\left(x^2, e ^y, z\right)=0, y=\sin x$ 确定了函数 $u=u(x)$ ，其中 $f, \phi$ 都有一阶连续偏导数，且 $\frac{\partial \phi}{\partial z} \neq 0$ ，求 $\frac{ d u}{d x}$ ．
设 $z=f(x y, x-y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，计算 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
设函数 $u(x, y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) d t$ ，其中函数 $\varphi$ 具有二阶导数，$\psi$ 具有一阶导数，试证 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
已知 $z=f(u, v, w)$ 具有连续偏导数，而 $u=\eta-\zeta, v=\zeta-\xi, w=\xi-\eta$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial \xi}, \frac{\partial z}{\partial \eta}, \frac{\partial z}{\partial \zeta}$ ，
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial \xi \partial \eta}, \frac{\partial^2 z}{\partial \zeta^2}
$$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y \arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$在原点 $(0,0)$ 处的可微性．
设 $\frac{(x-y) d x+(x+y) d y}{\left(x^2+y^2\right)^n}$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid x>0\}$ 内是某二元函数 $u=u(x, y)$ 的全微分，求 $n$ 以及 $u(x, y)$ ．
己知 $\frac{(x+a y) d x+y d y}{(x+y)^2}$ 为某函数的全微分，求该函数并确定 $a$ 的值．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的连续性、可偏导性及可微性。
设 $u=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 且二阶连续可导，又 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=2$ 且 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ ，求 $f(x)$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ 讨论 $\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 在 $(0,0)$
（1）偏导数是否存在。
（2）是否可微。
设 $z=z(x, y)$ 为方程 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x-4 y+3 z$ 确定的隐函数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$ 。
设 $u=e^{x y} \sin \left(x^2+y^2\right)$ ，求该函数的一阶偏导数与全微分．
$z=f(x, y)$ 满足偏微分方程 $3 \frac{\partial z}{\partial x}-2 \frac{\partial z}{\partial y}=0$ ，
（1）在变量替换 $\left\{\begin{array}{l}u=2 x+3 y \\ v=x-y\end{array}\right.$ 下，将上述偏微分方程变形为 $z$ 关于 $u, v$ 的方程；
（2）证明：$z=f(x, y)$ 可以表示为 $z=g(2 x+3 y)$
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=x y+x f\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f$ 为可导函数, 证明: $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$
设 $z=\ln (\sqrt{x}+\sqrt{y})$ ，证明：$x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2}$