单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
幂级数 $\sum_1^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$ 的收敛区间是（）。
$\text{A.}$ $[1,3]$
$\text{B.}$ $[1,3)$
$\text{C.}$ $(-1,1)$
$\text{D.}$ $[-1,1)$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & -\pi \leqslant x < 0,\end{array} S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n \dot{x}\right)\right.$ 是 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{C.}$ $-\frac{\pi}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{\left(3^k-2^k\right)\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)}=$
将函数 $f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$ 展成 $x$ 的幂级数。
将函数 $f(x)=x(4-x), x \in(0,4)$ 展开成周期为 4 的Fourier级数, 并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和。
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left[\ln \frac{1}{n}+2 \ln \frac{2}{n}+\cdots+(n-1) \ln \frac{n-1}{n}\right]=$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2} \mathrm{~d} x$.
(1) 已知 $f(x)$ 连续， $\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 的值.
(2) 设 $f(x)$ 连续，且 $\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^2$ ，已知 $f(1)=1$ ，求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ 的值.
设 $f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，计算 $\int f(x) \mathrm{d} x$.
设 $f\left(\sin ^2 x\right)=\frac{x}{\sin x}$ ，求 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} f(x) \mathrm{d} x$.
设 $f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}|\sin t| \mathrm{d} t$.
(1) 证明 $f(x)$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数；
(2) 求 $f(x)$ 的值域.
计算 $\int_0^1 \frac{x^2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (t+1)}{t} \mathrm{~d} t$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1=2, x_{n+1}=\frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}(n=1,2, \cdots)$
(1) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求其值;
(2) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{1}{x_1}-1\right)^2+\left(\frac{1}{x_2}-1\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{x_n}-1\right)^2\right]$.
求 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} d x$.
设函数 $f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$,
(1) 将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求收敛域; (2) 利用展开式求 $f^{(101)}(0)$.
计算$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x .$
求函数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n} x^n$ 在 $x=1$ 处的 Taylor 展开式及所求展开式的收敛域。
求 $f(x)=\frac{1}{x^2+3 x+2}$ 在点 $x=-4$ 处的 Taylor 级数。