单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数, 则
$\text{A.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] d t$ 是奇函数.
$\text{B.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] d t$ 是偶函数.
$\text{C.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] d t$ 是奇函数.
$\text{D.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] d t$ 是偶函数.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^2}$ 等于
$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x d x$.
$\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x d x$.
$\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) d x$.
$\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) d x$.
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e ^{\sin t} \sin t d t$, 则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数.
$\text{B.}$ 为负常数.
$\text{C.}$ 恒为零.
$\text{D.}$ 不为常数.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 2, & \pi \leqslant x \leqslant 2 \pi\end{array} F(x)=\int_0^x f(t) d t\right.$, 则
$\text{A.}$ $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点.
$\text{B.}$ $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点.
$\text{C.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处连续但不可导。
$\text{D.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处可导.
设函数 $f(x)$ 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) d t$.
$\text{B.}$ $\int_0^x f^2(t) d t$.
$\text{C.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] d t$.
$\text{D.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] d t$.
设函数 $e^x f(x)$ 的一个原函数是 $x^2$, 则 $\int_0^1 f(x) d x=$
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ -1 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{e}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{1}{e}$.
$\text{E.}$ $2-\frac{2}{e}$.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)$ 连续， $f(x)=x^2-\int_0^2 f(x) d x$ ，求 $f(x)$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
求定积分 $\int_0^2 \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} d x$
求不定积分 $\int e ^x \cos \left(2 e ^x\right) d x$;
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\cos x}{1+\sin ^2 x} d x=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求不定积分 $\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x$.
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \cos x d x$.
已知 $\ln \ln x$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 求 $\int x f^{\prime}(x) d x$.
$\int \frac{1}{x\left(1+x^6\right)} d x$
$\int \frac{\sin x}{\sqrt{5+\cos x}} d x$
$\int \frac{1}{x \ln ^2 x} d x$
$\int \frac{1}{a^2 \cos ^2 x+b^2 \sin ^2 x} d x$
$\int \frac{1}{a^2-x^2} d x$
$\int \frac{x^3}{x^8-2} d x$