一、单选题 （共 5 题，每小题 8分，共 40 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow 0$ 时,变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷小.
$\text{B.}$ 无穷大.
$\text{C.}$ 有界的, 但不是无穷小.
$\text{D.}$ 无界的, 但不是无穷大.
函数 $f(x)=x \sin x$
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时为无穷大.
$\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界.
$\text{C.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界.
$\text{D.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时有有限极限.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ $\infty$
当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^2-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2 .
$\text{B.}$ 等于 0 。
$\text{C.}$ 为 $\infty$ 。
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ 的极限为 ( )。
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 不存在
二、填空题 （共 1 题, 每小题 10 分，共 10 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=$
三、解答题 （ 共 10 题，满分 100 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$.
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^2} \cdots \cos \frac{x}{2^n}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$解
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 x \ln 2\right]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}$
求极限$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^3}+\frac{1+2}{n^3}+\cdots+\frac{1+2+\cdots+n}{n^3}\right)$
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}$
用极限定义证明: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-1}{x^2+1}=-1$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\sin 2 x}$.