单选题 （共 13 题 ），每题只有一个选项正确
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 等于
$\text{A.}$ 3 .
$\text{B.}$ 7 .
$\text{C.}$ 8 .
$\text{D.}$ 9 .
设 $u_n=(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$, 则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都发散.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 发散.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛.
设常数 $\lambda>0$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\left|a_n\right|}{\sqrt{n^2+\lambda}}$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 敛散性与 $\lambda$ 有关
若 $\sum_{n=1}^{\infty} n u_n$ 绝对收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{n}$ 条件收敛, 则
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 条件收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散.
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)($ 常数 $\alpha>0)$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 绝对收敛.
$\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$ 有关.
设常数 $k>0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{k+n}{n^2}$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 条件收敛.
$\text{D.}$ 敛散性与 $k$ 值有关.
$$
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=
$$
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$.
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$.
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$.
$\text{D.}$ $2 \sin 1+3 \cos 1$.
设有下列命题:
(1)若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
(2)若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+1000}$ 收敛.
(3) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
(4)若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛.则以下命题中正确的是
$\text{A.}$ (1) (2)
$\text{B.}$ (2) (3)
$\text{C.}$ (3) (4)
$\text{D.}$ (1) (4)
下面 "结论" 中, 正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 都收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 的收敛性不确定
若 $\int f(x) d x=F(x)+C$ ，则 $\int f(a x+b) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $a F(a x+b)+C$
$\text{B.}$ $\frac{F(a x+b)}{a}+C$
$\text{C.}$ $\frac{F(x)}{a}+C$
$\text{D.}$ $a F ( x )+C$
下列反常积分收敛的是 ( ).
$\text{A.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin x d x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}}$
设函数 $f(x)$ 是连续函数, $F(x)=\int_{-x^2}^0 f(t) a t$, 则 $F^{\prime}(x)=$
$\text{A.}$ $f\left(-x^2\right)$
$\text{B.}$ $-f\left(-x^2\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(-x^2\right)$
$\text{D.}$ $-2 x f\left(-x^2\right)$
下列级数中绝对收敛的是 ( )。
$\text{A.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln (1+n)}$
$\text{B.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{n^3-1}{n^2+2}$
$\text{C.}$ $\sum_1^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+1}{n^3-2 n+1}$
$\text{D.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n n}{\sqrt{3^n}} \sin n$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+a}{n}$ 收敛, 则 $a$ 的取值为
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln ^2 x$ ，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$ ，则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^n$ 的敛散性.
计算 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^2 \sin x+\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\right) d x$.
$\int \frac{x^3}{x^8-2} d x$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 且满足方程
$$
\int_0^x(x-t) f(t) d t=e^x\left(x^2-2 x\right)
$$
（1）求 $f(x)$ 的表达式;（2）求 $f(x)$ 的极值。
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+2 \cos x}{3 \sin x+\cos x} d x$;
设 $\Gamma$ 是空间曲线: $y=e^{\frac{x^2}{2}}, z=0, x \geq 0$, 将该曲线绕坐标 $y$ 轴旋转一周,
1) 求所成曲面上的点满足的方程; 2) 求所成曲面与平面 $y=e$ 围成的有界立体的体积。