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数学分析综合测验一

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 13 题），每题只有一个选项正确

1. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n} = 2, \sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1} = 5

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

等于

A.

3 .

B.

7 .

C.

8 .

D.

9 .

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2. 设

u_{n} = (- 1)^{n} \ln (1 + \frac{1}{\sqrt{n}})

, 则级数

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

都收敛.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

都发散.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛而

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

发散.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散而

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

收敛.

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3. 设常数

λ > 0

, 且级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

收敛, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{| a_{n} |}{\sqrt{n^{2} + λ}}

A.

发散

B.

条件收敛

C.

绝对收敛

D.

敛散性与

λ

有关

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4. 若

\sum_{n = 1}^{\infty} n u_{n}

绝对收敛,

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{v_{n}}{n}

条件收敛, 则

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} v_{n}

条件收敛.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} v_{n}

绝对收敛.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

收敛.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

发散.

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5. 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (1 - \cos \frac{α}{n}) (

常数

α > 0)

A.

发散.

B.

条件收敛.

C.

绝对收敛.

D.

敛散性与

α

有关.

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6. 设常数

k > 0

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{k + n}{n^{2}}

A.

发散.

B.

绝对收敛.

C.

条件收敛.

D.

敛散性与

k

值有关.

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\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{2 n + 3}{(2 n + 1)!} =

A.

\sin 1 + \cos 1

B.

2 \sin 1 + \cos 1

C.

2 \sin 1 + 2 \cos 1

D.

2 \sin 1 + 3 \cos 1

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8. 设有下列命题:
(1)若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛。
(2)若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛,则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n + 1000}

收敛.
(3) 若

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} > 1

，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散。
(4)若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

都收敛.则以下命题中正确的是

A.

(1) (2)

B.

(2) (3)

C.

(3) (4)

D.

(1) (4)

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9. 下面 "结论" 中, 正确的是

A.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

都发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

发散

B.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

都收敛

C.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

都收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

都收敛

D.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛,

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

的收敛性不确定

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10. 若

\int f (x) d x = F (x) + C

，则

\int f (a x + b) d x = ()

A.

a F (a x + b) + C

B.

\frac{F (a x + b)}{a} + C

C.

\frac{F (x)}{a} + C

D.

a F (x) + C

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11. 下列反常积分收敛的是 ( ).

A.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{x}{1 + x^{2}} d x

B.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

C.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \sin x d x

D.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{\sqrt{x}}

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12. 设函数

f (x)

是连续函数,

F (x) = \int_{- x^{2}}^{0} f (t) a t

, 则

F^{'} (x) =

A.

f (- x^{2})

B.

- f (- x^{2})

C.

2 x f (- x^{2})

D.

- 2 x f (- x^{2})

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13. 下列级数中绝对收敛的是 ( )。

A.

\sum_{1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\ln (1 + n)}

B.

\sum_{1}^{\infty} \frac{n^{3} - 1}{n^{2} + 2}

C.

\sum_{1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{2 n^{2} + 1}{n^{3} - 2 n + 1}

D.

\sum_{1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} n}{\sqrt{3^{n}}} \sin n

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

14. 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} + a}{n}

收敛, 则

a

的取值为

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15. 已知

f (x)

的一个原函数为

\ln^{2} x

，则

\int x f^{'} (x) d x =

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16. 设

\int_{1}^{+ \infty} \frac{a}{x (2 x + a)} d x = \ln 2

，则

a =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 判断级数

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{n}{2 n + 1})}^{n}

的敛散性.

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18. 计算

\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^{2} \sin x + \frac{(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x

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19.

\int \frac{x^{3}}{x^{8} - 2} d x

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20. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续, 且满足方程

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = e^{x} (x^{2} - 2 x)

（1）求

f (x)

的表达式;（2）求

f (x)

的极值。

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21. 计算定积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x + 2 \cos x}{3 \sin x + \cos x} d x

;

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22. 设

Γ

是空间曲线:

y = e^{\frac{x^{2}}{2}}, z = 0, x \geq 0

, 将该曲线绕坐标

y

轴旋转一周,
1) 求所成曲面上的点满足的方程; 2) 求所成曲面与平面

y = e

围成的有界立体的体积。

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