单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e ^{\sin t} \sin t d t$, 则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数.
$\text{B.}$ 为负常数.
$\text{C.}$ 恒为零.
$\text{D.}$ 不为常数.
设函数 $f(x)$ 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) d t$.
$\text{B.}$ $\int_0^x f^2(t) d t$.
$\text{C.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] d t$.
$\text{D.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] d t$.
设 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin \left(t^2\right) d t, g(x)=x^3+x^4$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小.
$\text{B.}$ 同阶但非等价无穷小.
$\text{C.}$ 高阶无穷小.
$\text{D.}$ 低阶无穷小.
设函数 $e^x f(x)$ 的一个原函数是 $x^2$, 则 $\int_0^1 f(x) d x=$
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ -1 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{e}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{1}{e}$.
$\text{E.}$ $2-\frac{2}{e}$.
求函数 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} d x$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{8}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi$.
$\text{E.}$ $2 \pi$.
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)$ 连续， $f(x)=x^2-\int_0^2 f(x) d x$ ，求 $f(x)$
$\int_0^\pi \frac{1}{2+\tan ^2 x} d x=$
定积分 $\int_{-\pi}^\pi \cos x \sin x d x=$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x d x=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\cos x}{1+\sin ^2 x} d x=$
$\int_0^x\left|e^t-1\right| d t=$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{3 \sin ^2 x+\cos ^2 x}=$
解答题 （共 28 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
(1) $\int x \sin x^2 d x$;
(2) $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$;
(3) $\int \frac{\ln ^2 x}{x} d x$;
(4) $\int x \sqrt{1-x^2} d x$;
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \cos x d x$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x e^{-x}, & x \leq 0 \\ \sqrt{2 x-x^2}, & 0 < x \leq 1\end{array}\right.$ 求 $\int_{-3}^1 f(x) d x$.
$\int \frac{1}{x(1+2 \ln x)} d x$
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan x}{\ln (\cos x)} d x$
$\int_{-1}^1 \frac{1}{1+x^2} d x$
$\int_0^\pi \sqrt{\sin ^3 x-\sin ^5 x} d x$
$\int \frac{x^3}{x^8-2} d x$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 且满足方程
$$
\int_0^x(x-t) f(t) d t=e^x\left(x^2-2 x\right)
$$
（1）求 $f(x)$ 的表达式;（2）求 $f(x)$ 的极值。
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+2 \cos x}{3 \sin x+\cos x} d x$;
$\int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1-2 x}{1+2 x}} d x$
计算 $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n}{n}}\right)$ ；
设 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}+x^3 \int_0^1 f(x) d x$ ，则 $\int_0^1 f(x) d x=$
$\int_{-\pi}^\pi \sin x d x=0$
计算导数 $\frac{d}{d x} \int_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^2\right) d t$
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^2 \theta d \theta$ ．
求导 $\frac{d}{d x} \int_0^{x^2} \sqrt{1+t^2} d t$ ；
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x e^{t^2} d t\right)^2}{\int_0^x t e^{2 t^2} d t}$ ．
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos ^4 \theta d \theta$ ．
$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{8-2 y^2} d y$;
$\int_0^a x^2 \sqrt{a^2-x^2} d x$;
$\int_1^{\sqrt{3}} \frac{d x}{x^2 \sqrt{1+x^2}}$;
$\int_1^4 \frac{d x}{1+\sqrt{x}}$;
$\int_0^1 t e^{-\frac{t^2}{2}} d t$;
$\int_1^{e^2} \frac{d x}{x \sqrt{1+\ln x}}$;