单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=x^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1$, 而
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $b_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2,3, \cdots$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}2(x-1), x < 1, \\ \ln x, \quad x \geq 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x-1), x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1 \\ x(\ln x+1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
设 $I=\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) d x, J=\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} d x, K=\int_0^1 \arctan x d x$, 则 ( )
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $K < J < I$
$\text{C.}$ $I < K < J$
$\text{D.}$ $J < K < I$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\pi x+x^{2}(-\pi < x < \pi)$ 的傅里叶级数展开式为 $\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$, 则其中系数 $b_{3}$ 的值为
设 $x^2=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x(-\pi \leq x \leq \pi)$ ，则 $a_2=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x e^{x^2}, & -\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \\ -1, & x \geq \frac{1}{2}\end{array}\right.$ ，则 $\int_{\frac{1}{2}}^2 f(x-1) \mathrm{d} x=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x} & , x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}, \lambda>0\right.$ ，则
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=
$$
已知 $f(x)=\int_1^x \sqrt{1+t^4} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_0^1 x^2 f(x) \mathrm{d} x=$
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$, 则 $a=$
函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^n$ 在 $x=\frac{1}{4}$ 处的幂级数展开式为
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left[\ln \frac{1}{n}+2 \ln \frac{2}{n}+\cdots+(n-1) \ln \frac{n-1}{n}\right]=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将函数 $y=\ln \left(1-x-2 x^2\right)$ 展成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛区间.
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3.2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^2+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.
已知函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=1,0 < f^{\prime}(x) < \frac{1}{2}$, 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)(n=1,2, \cdots)$. 证明:
(1) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)$ 绝对收敛；
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，且 $0 < \lim _{n \rightarrow \infty} x_n < 2$.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$.
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(a x+b) e^{\frac{1}{x}}-x\right]=2$ ，求 $a, b$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\int_0^x e^{t^2} d t}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}\right)$.
设 $u_1=1, u_2=2, u_n=u_{n-1}+u_{n-2}(n \geqslant 3)$.
( I ) 证明: $\frac{3}{2} u_{n-1} \leqslant u_n \leqslant 2 u_{n-1}(n \geqslant 3)$ ；
(II) 判别 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{u_n}$ 的敛散性.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, 且 $f(0)=f(1)=\int_0^1 f(x) d x=0$, 求证:
(I) 方程 $f^{\prime}(x)-f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有两个不同的实根；
(II) 方程 $f^{\prime \prime}(x)-f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) d x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求 $\int f(x) d x$.
（ I ）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{2}+\cdots+\sqrt[4]{n})\left(\frac{1}{\sqrt[4]{1}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)$ ；
（II） 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^4+1}+\frac{2}{n^4+2}+\cdots+\frac{n}{n^4+n}\right)(\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{2}+\cdots+\sqrt[4]{n})\left(\frac{1}{\sqrt[4]{1}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)$ ．