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综合测试三

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = x^{2}, 0 ⩽ x ⩽ 1

, 而

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin n π x, - \infty < x < + \infty,

其中

b_{n} = 2 \int_{0}^{1} f (x) \sin n π x d x, n = 1, 2, 3, \dots

, 则

S (- \frac{1}{2})

等于

A.

- \frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{4}

C.

\frac{1}{4}

D.

\frac{1}{2}

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2. 已知函数

f (x) = {\begin{matrix} 2 (x - 1), x < 1, \\ \ln x, x \geq 1, \end{matrix}

则

f (x)

的一个原函数为

A.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1, \\ x (\ln x - 1), x \geq 1 \end{cases}

B.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1, \\ x (\ln x + 1) - 1, x \geq 1 \end{cases}

C.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1 \\ x (\ln x + 1) + 1, x \geq 1 \end{cases}

D.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1, \\ x (\ln x - 1) + 1, x \geq 1 \end{cases}

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3. 设

I = \int_{0}^{1} \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) d x, J = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x, K = \int_{0}^{1} \arctan x d x

, 则 ( )

A.

I < J < K

B.

K < J < I

C.

I < K < J

D.

J < K < I

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 设函数

f (x) = π x + x^{2} (- π < x < π)

的傅里叶级数展开式为

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x)

, 则其中系数

b_{3}

的值为

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5. 设

x^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cos n x (- π \leq x \leq π)

，则

a_{2} =

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6. 设

f (x) = {\begin{array}{cc} x e^{x^{2}}, & - \frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \\ - 1, & x \geq \frac{1}{2} \end{array}

，则

\int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x - 1) d x =

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7. 设函数

f (x) = {\begin{cases} λ e^{- λ x} & , x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}, λ > 0

，则

\int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x =

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8. 已知

f (x) = \int_{1}^{x} \sqrt{1 + t^{4}} d t

，则

\int_{0}^{1} x^{2} f (x) d x =

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9. 已知

lim_{x \to 0} \frac{{(1 + a x^{2})}^{\sin x} - 1}{x^{3}} = 6

, 则

a =

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10. 函数

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{x}{1 - x})}^{n}

在

x = \frac{1}{4}

处的幂级数展开式为

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11.

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} [\ln \frac{1}{n} + 2 \ln \frac{2}{n} + \dots + (n - 1) \ln \frac{n - 1}{n}] =

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12. 设

\int_{1}^{+ \infty} \frac{a}{x (2 x + a)} d x = \ln 2

, 则

a =

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 将函数

y = \ln (1 - x - 2 x^{2})

展成

x

的幂级数，并指出其收敛区间.

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14. 如下图，曲线

C

的方程为

y = f (x)

，点

(3.2)

是它的一个拐点，直线

l_{1}

与

l_{2}

分别是曲线 C 在点

(0, 0)

与

(3, 2)

处的切线，其交点为

(2, 4)

. 设函数

f (x)

具有三阶连续导数，计算定积分

\int_{0}^{3} (x^{2} + x) f^{'''} (x) d x

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15. 求幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{4 n^{2} + 4 n + 3}{2 n + 1} x^{2 n}

的收敛域及和函数.

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16. 已知函数

f (x)

可导，且

f (0) = 1, 0 < f^{'} (x) < \frac{1}{2}

, 设数列

{x_{n}}

满足

x_{n + 1} = f (x_{n}) (n = 1, 2, \dots)

. 证明:
(1) 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (x_{n + 1} - x_{n})

绝对收敛；
(2)

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在，且

0 < lim_{n \to \infty} x_{n} < 2

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17. 求

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \ln (1 + \frac{k}{n})

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18.

lim_{x \to + \infty} [(a x + b) e^{\frac{1}{x}} - x] = 2

，求

a, b

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19. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{1 + \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t}{e^{x} - 1} - \frac{1}{\sin x})

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20. 设

u_{1} = 1, u_{2} = 2, u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 2} (n ⩾ 3)

.
( I ) 证明:

\frac{3}{2} u_{n - 1} ⩽ u_{n} ⩽ 2 u_{n - 1} (n ⩾ 3)

；
(II) 判别

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{u_{n}}

的敛散性.

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21. 设

f (x)

在

[0, 1]

上二阶可导, 且

f (0) = f (1) = \int_{0}^{1} f (x) d x = 0

, 求证:
(I) 方程

f^{'} (x) - f (x) = 0

在

(0, 1)

内至少有两个不同的实根；
(II) 方程

f^{''} (x) - f (x) = 0

在

(0, 1)

内至少有一个实根。

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22. 设可导函数

f (x)

满足

\int x^{3} f^{'} (x) d x = x^{2} \cos x - 4 x \sin x - 6 \cos x + C

, 且

f (2 π) = \frac{1}{2 π}

, 求

\int f (x) d x

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23. （ I ）求

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} (\sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{2} + \dots + \sqrt[4]{n}) (\frac{1}{\sqrt[4]{1}} + \frac{1}{\sqrt[4]{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[4]{n}})

；
（II）求

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{4} + 1} + \frac{2}{n^{4} + 2} + \dots + \frac{n}{n^{4} + n}) (\sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{2} + \dots + \sqrt[4]{n}) (\frac{1}{\sqrt[4]{1}} + \frac{1}{\sqrt[4]{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[4]{n}})

．

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