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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 幂级数

\sum_{1}^{\infty} \frac{(x - 2)^{n}}{n}

的收敛区间是（）。

A.

[1, 3]

B.

[1, 3)

C.

(- 1, 1)

D.

[- 1, 1)

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2. 设

f (x) = {\begin{cases} x + 1, & 0 ⩽ x ⩽ π, \\ 0, & - π ⩽ x < 0, \end{cases} S (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n \dot{x})

是

f (x)

以

2 π

为周期的傅里叶级数, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} =

A.

- \frac{π}{4}

B.

\frac{π}{4}

C.

- \frac{π}{2}

D.

\frac{π}{2}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{6^{k}}{(3^{k} - 2^{k}) (3^{k + 1} - 2^{k + 1})} =

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4. 将函数

f (x) = \frac{x}{2 + x - x^{2}}

展成

x

的幂级数。

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5. 将函数

f (x) = x (4 - x), x \in (0, 4)

展开成周期为 4 的Fourier级数, 并求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

的和。

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lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} [\ln \frac{1}{n} + 2 \ln \frac{2}{n} + \dots + (n - 1) \ln \frac{n - 1}{n}] =

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三、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 计算

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}} d x

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8. (1) 已知

f (x)

连续，

\int_{0}^{x} t f (x - t) d t = 1 - \cos x

，求

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

的值.
(2) 设

f (x)

连续，且

\int_{0}^{x} t f (2 x - t) d t = \frac{1}{2} \arctan x^{2}

，已知

f (1) = 1

，求

\int_{1}^{2} f (x) d x

的值.

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9. 设

f (\ln x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}

，计算

\int f (x) d x

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10. 设

f (\sin^{2} x) = \frac{x}{\sin x}

，求

\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}} f (x) d x

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11. 设

f (x) = \int_{x}^{x + \frac{π}{2}} | \sin t | d t

.
(1) 证明

f (x)

是以

π

为周期的周期函数；
(2) 求

f (x)

的值域.

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12. 计算

\int_{0}^{1} \frac{x^{2} \arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

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13. 计算

\int_{0}^{1} \frac{f (x)}{\sqrt{x}} d x

，其中

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln (t + 1)}{t} d t

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14. 设数列

{x_{n}}

满足:

x_{1} = 2, x_{n + 1} = \frac{x_{n}^{2}}{1 - x_{n} + x_{n}^{2}} (n = 1, 2, \dots)

(1) 证明:

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在, 并求其值;
(2) 求

lim_{n \to \infty} [{(\frac{1}{x_{1}} - 1)}^{2} + {(\frac{1}{x_{2}} - 1)}^{2} + \dots + {(\frac{1}{x_{n}} - 1)}^{2}]

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15. 求

\int \frac{x \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 - x^{2})}^{2}} d x

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16. 设函数

f (x) = \arctan \frac{1 + x}{1 - x}

,
(1) 将

f (x)

展开成

x

的幂级数, 并求收敛域; (2) 利用展开式求

f^{(101)} (0)

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17. 计算

\int_{0}^{1} \frac{1}{(x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)} d x .

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18. 求函数

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n 2^{n}} x^{n}

在

x = 1

处的 Taylor 展开式及所求展开式的收敛域。

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19. 求

f (x) = \frac{1}{x^{2} + 3 x + 2}

在点

x = - 4

处的 Taylor 级数。

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