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练习一

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x), φ (x)

在点

x = 0

的某邻域内连续，且当

x \to 0

时，

f (x)

是

φ (x)

的高阶无穷小，则当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x} f (t) \sin t d t

是

\int_{0}^{x} t φ (t) d t

的

A.

低阶无穷小

B.

高阶无穷小

C.

同阶但不等价的无穷小

D.

等价无穷小

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2. 设

f (x)

连续，则

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t =

A.

x f (x^{2})

B.

- x f (x^{2})

C.

2 x f (x^{2})

D.

- x f (x^{2})

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3. 设

{a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}}

均为非负数列，

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0, lim_{n \to \infty} b_{n} = 1, lim_{n \to \infty} c_{n} = \infty .

则必有

A.

a_{n} < b_{n}

对任意

n

成立

B.

b_{n} < c_{n}

对任意

n

成立

C.

lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot c_{n}

的极限不存在

D.

lim_{n \to \infty} b_{n} \cdot c_{n}

的极限不存在

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4. 设

f (x)

为连续函数，

F (t) = \int_{1}^{t} d y \int_{y}^{t} f (x) d x

，则

F^{'} (2)

等于

A.

2 f (2)

B.

f (2)

C.

- f (2)

D.

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5. 把

x \to 0^{+}

时的无穷小量

α = \int_{0}^{x} \cos t^{2} d t, β = \int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} d t, γ = \int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{3} d t ，

排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

A.

α, β, γ

B.

α, γ, β

C.

β, α, γ

D.

β, γ, α

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6. 下列结论正确的是

A.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x (x + 1)}

与

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x (x + 1)}

都收敛

B.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x (x + 1)}

与

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x (x + 1)}

都发散

C.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x (x + 1)}

发散，

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x (x + 1)}

收敛

D.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x (x + 1)}

收敛，

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x (x + 1)}

发散

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7. 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛，则级数

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |

收敛.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

收敛.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} a_{n + 1}

收敛.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} + a_{n + 1}}{2}

收敛.

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8. 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛，则级数

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |

收敛.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

收敛.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} a_{n + 1}

收敛.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} + a_{n + 1}}{2}

收敛.

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9. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上具有二阶导数，且

f^{''} (x) > 0

，令

u_{n} = f (n) (n = 1, 2, \dots)

, 则下列结论正确的是

A.

若

u_{1} > u_{2}

，则

{u_{n}}

必收敛

B.

若

u_{1} > u_{2}

，则

{u_{n}}

必发散

C.

若

u_{1} < u_{2}

, 则

{u_{n}}

必收敛

D.

若

u_{1} < u_{2}

，则

{u_{n}}

必发散

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10. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内单调有界，

{x_{n}}

为数列，下列命题正确的是

A.

若

{x_{n}}

收敛，则

{f (x_{n})}

收敛

B.

若

{x_{n}}

单调，则

{f (x_{n})}

收敛

C.

若

{f (x_{n})}

收敛，则

{x_{n}}

收敛

D.

若

{f (x_{n})}

单调，则

{x_{n}}

收敛

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11. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内单调有界，

{x_{n}}

为数列，下列命题正确的是

A.

若

{x_{n}}

收敛，则

{f (x_{n})}

收敛

B.

若

{x_{n}}

单调，则

{f (x_{n})}

收敛

C.

若

{f (x_{n})}

收敛，则

{x_{n}}

收敛

D.

若

{f (x_{n})}

单调，则

{x_{n}}

收敛

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12. 设有两个数列

{a_{n}}, {b_{n}}

，若

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

，则

A.

当

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

收敛时，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

收敛

B.

当

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

发散时，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

发散

C.

当

\sum_{n = 1}^{\infty} | b_{n} |

收敛时，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}

收敛

D.

当

\sum_{n = 1}^{\infty} | b_{n} |

发散时，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}

发散

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13. 设函数

y = f (x)

在区间

[- 1, 3]

上的图形如下图所示，则函数

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

的图形为

A.

B.

C.

D.

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14. 设

{a_{n}}

单调减少，

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0, S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, \dots)

无界，则幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - 1)^{n}

的收敛域为

A.

(- 1, 1]

B.

[- 1, 1)

C.

[0, 2)

D.

(0, 2]

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15. 设

{u_{n}}

是数列，则下列命题正确的是

A.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛

B.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛

C.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} - u_{2 n})

收敛

D.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} - u_{2 n})

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛

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16. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{(x - 1)^{α - 1}}, 1 < x < e \\ \frac{1}{x \ln^{α + 1} x}, x \geq e \end{cases}

, 若反常积分

\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x

收敛，则

A.

α < - 2

B.

α > 2

C.

- 2 < α < 0

D.

0 < α < 2

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17. 若函数

\int_{- π}^{π} {(x - a_{1} \cos x - b_{1} \sin x)}^{2} d x

= min_{a, b \in R} {\int_{- π}^{π} (x - a \cos x - b \sin x)^{2} d x},

则

a_{1} \cos x + b_{1} \sin x =

A.

2 \sin x

B.

2 \cos x

C.

2 π \sin x

D.

2 π \cos x

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18. 下列级数中发散的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln (1 + \frac{1}{n})

C.

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} + 1}{\ln n}

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}

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19. 级数为

\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}) \sin (n + k) (k

为常数

)

，则该级数

A.

绝对收敛

B.

条件收敛

C.

发散

D.

收敛性与

k

有关

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20. 当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t

是

x^{7}

的（）

A.

低阶无穷小

B.

等价无穷小

C.

高阶无穷小

D.

同阶但非等价无穷小

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21. 函数

f (x) = {\begin{array}{cl} \frac{e^{x} - 1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{array}

在

x = 0

处 ( )

A.

连续且取极大值

B.

连续且取极小值

C.

可导且导数等于 0

D.

可导且导数不为 0

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22. 设函数

f (x) = a x - b \ln x (a > 0)

有两个零点，则

\frac{b}{a}

的取值范围是（）

A.

(e, + \infty)

B.

(0, e)

C.

(0, \frac{1}{e})

D.

(\frac{1}{e}, + \infty)

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23. 已知

f (x)

满足

lim_{x \to 1} \frac{f (x)}{\ln x} = 1

，则 ( )

A.

f (1) = 0

B.

lim_{x \to 1} f (x) = 0

C.

f^{'} (1) = 1

D.

lim_{x \to 1} f^{'} (x) = 1

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24. 1、当

x \to 0

时，

α (x), β (x)

是非零无穷小量，给出以下四个命题:
(1) 若

α (x) \sim β (x)

, 则

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

；
(2) 若

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

, 则

α (x) \sim β (x)

(3) 若

α (x) \sim β (x)

，则

α (x) - β (x) \sim o (α (x))

；
(4) 若

α (x) - β (x) \sim o (α (x))

, 则

α (x) \sim β (x)

.

其中所有真命题序号是

A.

(1)(2)

B.

(1)(4)

C.

(1)(3)(4)

D.

(2)(3)(4)

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25. 曲线

y = x \ln (e + \frac{1}{x - 1})

的斜斩近线方程为

A.

y = x + e

B.

y = x + \frac{1}{e}

C.

y = x

D.

y = x - \frac{1}{e}

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26. 曲线

y = x \ln (e + \frac{1}{x - 1})

的斜渐近线方程为

A.

y = x + e

B.

y = x + \frac{1}{e}

C.

y = x

D.

y = x - \frac{1}{e}

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27. 已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{\cos t} d t, g (x) = \int_{0}^{\sin x} e^{t^{2}} d t

，则 ( )

A.

f (x)

是奇函数，

g (x)

是偶函数

B.

f (x)

是偶函数，

g (x)

是奇函数

C.

f (x)

与

g (x)

均为奇函数

D.

f (x)

与

g (x)

均为周期函数

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28. 函数

f (x) = | x |^{\frac{1}{(1 - x) (x - 2)}}

的第一类间断点的个数是 ( )

A.

B.

C.

D.

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29. 设非负函数

f (x)

在

[0, + \infty)

上连续，给出以下三个命题:
(1) 若

\int_{0}^{+ \infty} f^{2} (x) d x

收敛，则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x

收敛。
(2) 若存在

p > 1

，使得

lim_{x \to + \infty} x^{p} f (x)

存在，则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x

收敛.
(3) 若

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x

收敛，则存在

p > 1

，使得

lim_{x \to + \infty} x^{p} f (x)

存在.其中真命题的个数为（）

A.

B.

C.

D.

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30. 设函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + n x^{2 n}}

，则

f (x) ()

A.

在

x = 1, x = - 1

处都连续

B.

在

x = 1

处连续，

x = - 1

处不连续

C.

在

x = 1, x = - 1

处都不连续

D.

在

x = 1

处不连续，

x = - 1

处连续

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31. 设

lim_{x \to 0} [a x \ln (1 + e^{\frac{1}{x}}) - arccot \frac{1}{x}]

存在, 则

a = ()

A.

π

B.

- π

C.

\frac{1}{π}

D.

- \frac{1}{π}

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32. 设当

Δ x \to 0

时，

α

是

Δ x

的高阶无穷小，已知函数

y = x^{2} \ln x

在任意点

x

处的增量

Δ y =

φ (\frac{1}{\ln x}) Δ x + α

, 则

φ (u) = ()

A.

(2 u + 1) e^{u}

B.

(2 u - 1) e^{u}

C.

(\frac{2}{u} + 1) e^{\frac{1}{u}}

D.

(\frac{2}{u} - 1) e^{\frac{1}{u}}

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33. 设

f (x)

连续二阶可导, 且

f (0) = 2

, 又

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 2 f^{'} (x) - 2}{\ln (1 + x) - x^{2}} = 2

, 则

()

A.

f (x)

在

x = 0

处取极大值 2

B.

f (x)

在

x = 0

处取极小值 2

C.

f (x)

在

x = 0

处不取极值

D.

(0, 2)

为

y = f (x)

的拐点

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34. 设

f (x) = \int_{0}^{x} \ln (1 + t^{3}) d t, g (x) = x^{2}

. 若当

x \to 0^{+}

时,

f (x)

是

g (x)

的高阶无穷小, 而当

x \to + \infty

时,

\frac{1}{g (x)}

是

\frac{1}{f (x)}

的高阶无穷小, 则常数

α

的取值范围为

A.

(0, 3)

B.

(1, 3)

C.

(0, 4)

D.

(1, 4)

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35. 设

f (1) = 0, f^{'} (1) = a

, 则极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 f (e^{x^{2}})} - \sqrt{1 + f (1 + \sin^{2} x)}}{\ln \cos x}

为

A.

a

B.

- a

C.

3 a

D.

- 3 a

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36. 设函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2 n}}

, 讨论函数

f (x)

的间断点, 其结论为

A.

不存在间断点.

B.

存在间断点

x = 1

C.

存在间断点

x = 0

D.

存在间断点

x = - 1

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37. 设

f (x)

和

φ (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有定义,

f (x)

为连续函数, 且

f (x) \neq 0

φ (x)

有间断点, 则

A.

φ [f (x)]

必有间断点.

B.

[φ (x)]^{2}

必有间断点.

C.

f [φ (x)]

必有间断点.

D.

\frac{φ (x)}{f (x)}

必有间断点.

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38. 设

f (x) = \int_{0}^{| \sin x |} e^{t^{2}} d t, g (x) = \int_{0}^{| x |} \sin t^{2} d t

, 则在

(- π, π)

内,

A.

f (x)

是可导的奇函数.

B.

g (x)

是可导的偶函数。

C.

f (x)

是奇函数且

f^{'} (0)

不存在。

D.

g (x)

是偶函数且

g^{'} (0)

不存在.

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39. 当

x \to 0

时,

a \int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} d t

与

\sin x - b \ln (1 + x)

是等价无穷小, 则

(a, b) =

A.

(1, 2)

B.

(- 1, 2)

C.

(\frac{1}{2}, 1)

D.

(- \frac{1}{2}, 1)

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40. 设

b > 0 > a

, 则

A.

a e^{a} (e^{b} - 1) > b e^{b} (e^{a} - 1)

B.

a e^{a} (e^{b} - 1) < b e^{b} (e^{a} - 1)

C.

b e^{a} (e^{b} - 1) > a e^{b} (e^{a} - 1)

D.

b e^{a} (e^{b} - 1) < a e^{b} (e^{a} - 1)

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