设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界， $\left\{x_n\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
A. 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
B. 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
C. 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
D. 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛